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1、Xxxxxx大学 届学士学位论文 二元函数的单调性及其应用系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 姓 名: 指 导 教 师: 指导教师职称: 2012年 5 月 10 日二元函数的单调性及其应用 （ 大学） 摘要：本课题着重研究二元函数的单调性及其应用，给出了二元函数的定义，二元函数在一条有向线段上的单调性的定义，二元函数方向导数的定义以及方向导数的计算公式，课题中探讨了利用方向导数判断二元函数单调性的方法,其中运用了二元函数关于方向导数的中值公式。介绍了利用二元函数的单调性求二元函数的极值，比较数的大小以及证明二元函数不等式。并举出实例来验证。 关键字：二元函数，单调性，方向导
2、数Binary function monotonicity and its application （） Abstract The research on this topic monotonicity of binary function and its application, give the binary function definition, binary function in the line to the monotonicity definition, binary function directional derivative definition and directi
3、onal derivative, and the formula of topics discussed using directional derivative judgment dual functional monotonicity method, using the dual function about the direction of the derivative of value formula. This paper introduces using binary function monotonicity of binary function for the extreme,
4、 compare the size of the number and prove the dualistic function inequality. And given a example to verify. Key word: binary function, monotonicity, directional derivative 目录引言1一、 二元函数的定义1二、 二元函数单调性的定义1三、 利用方向导数探讨二元函数的单调性2（一） 方向导数的定义2（二） 方向导数的公式计算3（三） 利用方向导数判断二元函数的单调性4四、二元函数单调性的应用7（一） 利用二元函数的单调性证明不等
5、式和比较大小7（二） 利用二元函数的单调性求二元函数的极值8（三） 利用偏导数求二元函数极值10结论13参考文献13致谢14引言二元函数是大学代数中非常重要的内容之一，也是大家非常热衷于研究的课题内容，涉及的内容有二元函数的单调性、二元函数的极值、二元函数的最值、二元函数的方向导数、二元函数的平衡问题、二元凸函数的等价判别形式、二元函数的偏导数、单调二元函数的广义平衡问题等等。本文着重研究二元函数的单调性及其应用一、二元函数定义 定义：设平面点集包含于，若按照某对应法则，中每一点都有唯一的实数与之对应,则称为在上的二元函数. 且称为的定义域，对应的为在点的函数值，记作；全体函数值的集合称为的值
6、域。一般来说，二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)。 二、二元函数的单调性定义一元函数 在某个区间上的单调性, 如该区间为 时, 可看成该函数在有向直线 轴上的单调性; 如该区间为 或 时, 可以看成该函数在 轴上的一条有向线段 (方向与 轴正方向相同 ) 上的单调性等等, 类似地, 可定义二元函数在 面上的一条有向线段, 有向直线或射线上的单调性。定义：设为 面上的一条有向线段，二元函数 在上有定义, 对于上任意两点 ，设与同向。若 , 则称二元函数 在上单调增加。若 , 则称二元函数 在上单调减少。三、利用方向导数探讨二元函数的单调性（一） 方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向
7、的变化率问题。设函数在点的某一邻域内有定义，自点引射线。设轴正向到射线的转角为，并设为上的另一点且，如图：且，考虑，当沿着趋于时，是否存在？定义：函数增量与两点间的距离之比值，当沿着趋于时，如此比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记为对于二元函数，在点处沿方向（方向角为）的导数为=（，(其中，）特别：当与轴同向时，有当与轴反向时，有（二）方向导数的计算公式定理1 若函数在点可微,则在点处沿任一方向的方向导数都存在,且其中，为方向的方向余弦.例1：求函数在点 沿向量的方向导数解：的方向余弦， 例2：求函数在点沿曲线朝增大方向的方向导数。解：将已知曲线用参数方程表示为 它在点的切向
8、量为， （三）利用方向导数判断二元函数的单调性如果，在可微，的方向余弦是，且在点沿射线的方向导数存在，且。其中射线是点出发的一条射线。它的方向向量记作由二元函数中值公式3： 其中: 可得到二元函数关于方向导数的中值公式.定理14 设二元函数在区域内连续,有向线段,且在内每个点处都可微,则在内至少存在一点,使得其中表示有向线段上不包过两个端点的所有点构成的点集,表示有向线段的长度,是点出发的并且经过点的一条射线.定理 24 设二元函数在区域内连续,有向线段,且在内每个点处都可微,表示点出发的并且经过点的一条射线.（1）若在内,则在上单调增加.（2）若在内,则在上单调减少.证明 在上任意取两点,且
9、与同向.由已知条件及定理1可得:为内一点,为有向线段的长度.（1）若在内,则.又.于是,即,因此在上单调增加.（2）若在内,则.又.于是,即,因此在上单调减少.例1 设,计算在点沿向量的方向导数，并判断其在方向上的单调性.解 沿方向的方向余弦是.所以在点处, 由题意知则当时,因此在上是单调递增的.例2 判断在上的单调性,其中解 设.的方向余弦为: 因为在内每个点处都可微,于是=当点时, ,则，故，因此在上单调增加.四、二元函数单调性的应用（一）利用二元函数的单调性证明不等式和比较大小例1 证明二元不等式当时,.证明：作辅助函数,则,令, 于是 = =当时,则当时,则故当时,因此在上单调增加,所
10、以,即例2 比较与的大小.解:设，令，则.的方向余弦为: 因为在内每个点处都可微,于是=当点时, ,则，故，因此在上单调增加,所以 即 .（二）利用二元函数的单调性求二元函数的极值上面1中给出了利用二阶偏导数判断函数在驻点处是否取得极值的判定法则,但二元函数的极值也可能在偏导数不存在的点处取得,这时利用该法则无法判断函数在该点处是否取得极值,而利用方向导数也就是通过二元函数的单调性就可以判断二元函数在驻点处或偏导数不存在的点处是否取得极值.定理14 设函数在点的某个邻域内连续并且可微,又,（在点处偏导数也可以不存在）,在 的去心邻域内任取一点,令,表示点出发的并且经过点的一条射线,（1）如果在
11、 的去心邻域内,即在内,于是在上单调增加,则在点处取极小值.（2）如果在 的去心邻域内,即在内,于是在上单调减少,则在点处取极大值.（3）如果在 的去心邻域内可正可负,则在点处没有极值.上述二元函数单调性判断二元函数极值的方法也可以类似推广到三元和三元以上的函数.定理24 设元函数在点的邻域内连续并且可微,又,（在点处偏导数也可以不存在）,令,表示点出发的并且经过点的一条射线,（1）如果在内,则在点处取极小值.（2）如果在内,则在点处取极大值.（3）如果在内可正可负,则在点处没有极值.例 求二元函数的极值.解 由,得此函数驻点为,该函数在处的偏导数不存在,在点的去心邻域内任意取一点,令,则,于
12、是 于是在上单调减少故而在点处取得极大值.(三) 利用偏导数求二元函数极值二元函数极值的定义5：数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式 ，则称函数在有极大值；若满足不等式 ，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.多元函数取得极值的条件6：定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ，.定理2：极值点必为驻点或至少有一个偏导数不存在的点.定理3：设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又, ，令 ， ，则1) 时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论7例1：求函数的极值.解：得驻点：在处，因此，驻点不是极值点.在处，因此驻点是极小值. 极小值例2：求由方程，确定的函数的极值.解：将方程两边分别对x,y求偏导数由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对求偏导
