《南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南京航空航天大学南京航空航天大学 07 14 硕士研究生矩阵论试题硕士研究生矩阵论试题 2007 2008 学年 矩阵论 课程考试 A 卷 2007 2008 学年 矩阵论 课程考试 A 卷 一 20 分 设矩阵一 20 分 设矩阵 111 322 211 A 1 求 1 求A的特征多项式和的特征多项式和A的全部特征值 的全部特征值 2 求 2 求A的行列式因子 不变因子和初等因子 的行列式因子 不变因子和初等因子 3 求 3 求A的最小多项式 并计算的最小多项式 并计算 IAA23 6 4 写出 4 写出A的 Jordan 标准形 的 Jordan 标准形 二 20 分 设二 20 分 设
2、22 R 是实数域是实数域R上全体上全体 22 实矩阵构成的线性空间 按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法 实矩阵构成的线性空间 按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法 1 求 1 求 22 R 的维数 并写出其一组基 的维数 并写出其一组基 2 设 2 设W是全体是全体 22 实对称矩阵的集合 实对称矩阵的集合 证明 证明 W是是 22 R 的子空间 并写出的子空间 并写出W的维数和一组基 的维数和一组基 3 在 3 在W中定义内积中定义内积 WBABAtrBA 其中其中 求出 求出W的一组标准正交基 的一组标准正交基 4 给出 4 给出 22 R 上的线性变换上的线性变换T 22 RAAAAT T
3、写出线性变换 写出线性变换T在 1 中所取基下的矩阵 并求在 1 中所取基下的矩阵 并求T的核的核 TKer 和值域和值域 TR 三 20 分 三 20 分 1 设 1 设 121 312 A 求 求 1 A 2 A A F A 2 设 2 设 nn ij CaA 令 令 ij ji anA max 证明 证明 是 是 nn C 上的矩阵范数并说明具有相容性 上的矩阵范数并说明具有相容性 3 证明 3 证明 2 1 AAA n 四 20 分 已知矩阵四 20 分 已知矩阵 100 100 011 111 A 向量 向量 2 1 1 2 b 1 求矩阵 A 的 1 求矩阵 A 的QR分解 分解
4、2 计算 2 计算 A 3 用广义逆判断方程组 3 用广义逆判断方程组 bAx 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 五 20 分 五 20 分 1 设矩阵 1 设矩阵 15 02 5 011 210 22 23 235 t tB t tA 其中 其中t为实数 为实数 问当问当t满足什么条件时 满足什么条件时 BA 成立 成立 2 设 2 设n阶 Hermite 矩阵阶 Hermite 矩阵 0 2212 1211 AA AA A H 其中 其中 kk CA 11 证明 证明 0 0 12 1 11122211 AA
5、AAA H 3 已知 Hermite 矩阵 3 已知 Hermite 矩阵 nn ij CaA niaa ij ijii 2 1 证明 证明 A正定 正定 2007 2008 学年 矩阵论 课程考试 B 卷 2007 2008 学年 矩阵论 课程考试 B 卷 一 20 分 已知矩阵一 20 分 已知矩阵 040 041 221 A 1 求 1 求A的不变因子 初等因子及最小多项式 的不变因子 初等因子及最小多项式 2 求 2 求A的 Jordan 标准形的 Jordan 标准形J及可逆变换矩阵及可逆变换矩阵P 使得 使得 1 PAPJ 3 问矩阵序列 3 问矩阵序列 k A 是否收敛 是否收敛
6、 二 20 分 二 20 分 1 已知矩阵 1 已知矩阵 210 023 120 A 求 求 12 F AAAA 2 设 2 设A为为n阶可逆矩阵 阶可逆矩阵 是是 n n C 上的相容范数 上的相容范数 为为A的任一特征值 的任一特征值 证明 证明 1 1 AA 三 20 分 三 20 分 3 R x 表示实数域上次数不小于 3 的多项式与零多项式构成的线性空间 表示实数域上次数不小于 3 的多项式与零多项式构成的线性空间 对对 3 f xR x 记 记 Rcbacbxaxxf 2 其中其中 在 在 3 R x 上定义线性变换 上定义线性变换 4 322 3 2 cbaxcbaaxxfT 1
7、 给出 1 给出 3 R x 的一组基 并求出线性变换的一组基 并求出线性变换T 在该基下的表示矩阵 在该基下的表示矩阵 2 求线性变换 2 求线性变换T 的特征值和特征向量 的特征值和特征向量 3 判断线性变换 3 判断线性变换T 是否可对角化 若可以 给出对角化的一组基 若否 证明之 是否可对角化 若可以 给出对角化的一组基 若否 证明之 四 20 分 四 20 分 1 设 1 设 2411 1212 1221 A 试给出 试给出A的满秩分解 并计算的满秩分解 并计算A 2 设 2 设 4 0 2 b 利用广义逆矩阵判断线性方程组 利用广义逆矩阵判断线性方程组Ax b 是否相容 若相容 求
8、其通解 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 若不相容 求其极小最小二乘解 五 20 分 五 20 分 1 设 1 设 532012 32 110 5 2220 51 AtBt tt 其中 其中t是实数 是实数 问问t满足什么条件时 满足什么条件时 A B 成立 成立 2 设 2 设A为为n阶 Hermite 矩阵 对任意阶 Hermite 矩阵 对任意 0 n xCx 记 记 xx Axx xR H H 证明 证明 minmax 0AR xA x 3 设 3 设n阶 Hermite 矩阵阶 Hermite 矩阵 1112 1222 H AA A AA 其中 其中 11 1
9、 k k ACkn 如果如果 1 1122121112 0 0 H AAA A A 证明 证明 0A 2008 2009 学年 矩阵论 课程考试 A 卷 2008 2009 学年 矩阵论 课程考试 A 卷 一 20 分 设一 20 分 设 816 303 14210 A 1 求 1 求A的特征多项式和的特征多项式和A的全部特征值 的全部特征值 2 求 2 求A的不变因子 初等因子和最小多项式 的不变因子 初等因子和最小多项式 3 写出 3 写出A的 Jordan 标准形 的 Jordan 标准形 二 20 分 1 设二 20 分 1 设 11 01 1 1 A 求 求 12 F AAAA 2
10、设 2 设 是是 nn C 上的相容矩阵范数 证明 上的相容矩阵范数 证明 i 如果 i 如果A是 n 阶可逆矩阵 是 n 阶可逆矩阵 是是A的任一特征值 则的任一特征值 则 1 1 AA ii 如果 ii 如果 n n PC 是可逆矩阵 令是可逆矩阵 令 APPA P 1 则 则 P A 是是 nn C 上的相容矩阵范数 上的相容矩阵范数 三 20 分 设三 20 分 设 101 010 101 A 1 2 2 b 1 作出 A 的满秩分解 计算 1 作出 A 的满秩分解 计算A 2 应用广义逆矩阵判定线性方程组 2 应用广义逆矩阵判定线性方程组 bAx 是否相容 若相容 求其通解 是否相容
11、 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 若不相容 求其极小最小二乘解 3 设 3 设A是是 nm 实矩阵 实矩阵 b是是m维实向量 证明 不相容线性方程组维实向量 证明 不相容线性方程组 bAx 的最小二乘解唯一当且仅当的最小二乘解唯一当且仅当A列列 满秩 满秩 四 20 分 设四 20 分 设V表示实数域表示实数域R上全体上全体 22 上三角矩阵作成的线性空间 对矩阵的加法和数量乘法 上三角矩阵作成的线性空间 对矩阵的加法和数量乘法 1 求 1 求V的维数 并写出的维数 并写出V的一组基 的一组基 2 在 2 在V中定义线性变换中定义线性变换T 10 10 00 11 XXXT V
12、X 求 求T在 1 中所取基下的矩阵表示 在 1 中所取基下的矩阵表示 3 求 2 中线性变换 3 求 2 中线性变换T的值域的值域 TR 和核和核 TN 并确定它们的维数 并确定它们的维数 4 在 4 在V中能否取一组基使得 2 中线性变换中能否取一组基使得 2 中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵 如果能 则取一组基 如果不在所取基下的矩阵为对角矩阵 如果能 则取一组基 如果不 能 则说明理由 能 则说明理由 五 20 分 设五 20 分 设 ij aA 为 n 阶 Hermite 矩阵 证明 为 n 阶 Hermite 矩阵 证明 存在唯一 Hermite 矩阵存在唯一 Hermite
13、 矩阵B使得使得 3 AB 2 如果 2 如果 0A 则 则 22 tr Atr A 3 如果 3 如果 0A 则 则 1 tr A tr An 2009 20010 学年 矩阵论 课程考试 A 卷2009 20010 学年 矩阵论 课程考试 A 卷 一 20 分 设一 20 分 设 411 301 621 A 1 求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值 1 求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值 2 求 A 的不变因子 初等因子和最小多项式 2 求 A 的不变因子 初等因子和最小多项式 3 写出 A 的 Jordan 标准型 J 3 写出 A 的 Jordan 标准型 J 4 求可逆矩阵
14、 P 使 4 求可逆矩阵 P 使 1 PAPJ 二 20 分 1 设二 20 分 1 设 102 221 A 求 求 12 F AAAA 2 设 2 设 nn ij CaA 令 令 max ij i j Ana 证明证明 是 是 上的矩阵范数并说明具有相容性 上的矩阵范数并说明具有相容性 3 设 A B 均为 n 阶矩阵 并且 AB BA 证明 如果 A 有 n 个互异的特征值 则 B 相似于对 角矩阵 3 设 A B 均为 n 阶矩阵 并且 AB BA 证明 如果 A 有 n 个互异的特征值 则 B 相似于对 角矩阵 三 20 分 设表示实数域 R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成
15、的线性空间 按 通常多项式的加法三 20 分 设表示实数域 R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间 按 通常多项式的加法 和数与多项式的乘法 和数与多项式的乘法 1 在中定义线性变换 T 1 在中定义线性变换 T 22 22 22 23 4 1 xxT xxxxT xxxT 求变换 T 在基求变换 T 在基 2 1 x x 下的矩阵 下的矩阵 2 求 T 的值域 R T 和核 ker T 的维数和基 2 求 T 的值域 R T 和核 ker T 的维数和基 3 求线性变换 T 的特征值及特征向量 3 求线性变换 T 的特征值及特征向量 4 在 4 在 3 xR 中定义内积 中
16、定义内积 4 1 dxxgxfgf 3 xRxgxf 求出求出 3 xR 的一组标准正交基 的一组标准正交基 四 20 分 四 20 分 1 设 1 设 41 40 104 t tA 其中 t 为实参数 问 t 取何值时 A 正定 其中 t 为实参数 问 t 取何值时 A 正定 2 设 A 是 n 阶 Hermite 矩阵 证明 A 半正定的充分必要条件是 A 的特征值均为非负实数 2 设 A 是 n 阶 Hermite 矩阵 证明 A 半正定的充分必要条件是 A 的特征值均为非负实数 3 已知 n 阶矩阵 3 已知 n 阶矩阵 0 A 证明 证明 1 IA 并且等号成立的充分必要条件为 A 0 并且等号成立的充分必要条件为 A 0 五 20 分 五 20 分 1 1 121 111 111 A 1 1 1 b i 做出 A 的满秩分解 并计算 i 做出 A 的满秩分解 并计算 A ii 用广义逆矩阵判定线性方程组 Ax b 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 ii 用广义逆矩阵判定线性方程组 Ax b 是否相容 若相容 求其通解 若不相容 求其极小最小二乘解 2
