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1、 单摆实验的改进摘要:介绍了单摆实验的改进实验方法，从理论推导上将摆角扩展到任意角；并提高了误差的修正精度.；介绍了用计算机辅助测量单摆的振幅和周期的关系；介绍了用”渐进法”加大了周期的测量精度；从实验装置上进行了改良；给出了摆角的测量方案；从测量方法上更好的比较了多种测量方法，得出了更好的测量方法。关键词:单摆；渐进法；计算机辅助测量；线性/非线性振动。 Improvement of the phys, simple pendulum experimentAbstract : Introduce phys, simple pendulum improvement experiment met
2、hod of experiment , derive from theory general wave corner expand wanton corner to; And has improved the precision of revision of the error. Recommend and assist and measure amplitude and relation of cycle of phys, simple pendulum with computer. Recommend with advance gradually law and strengthen th
3、e precision of measurement of cycle. Have improved from experimental provision, has got off the measurement scheme which puts the angle; From measure fine many kinds of measurement method at the method, draw kind measurement method.Keyword: Phys, simple pendulum, advancing gradually law, the compute
4、r assists measurement, Linear / non-linear vibration.1引言单摆实验是一个古老的实验,伽利略用单摆测出了大约的重力加速度.在单摆实验测量重力加速度的过程中,存在着许多影响精度测量的因素,我们应考虑这些不利因素,改进实验装置和实验方法,推导更合理的理论计算公式,修正系统的误差.2 单摆实验的改进2.1 单摆的理论公式，实验条件和实验安排2.1.1单摆的理想模型一根细线上端固定，下端系一金属小球。细线质量与小球质量相比可以略不记，球的直径相比摆长的长度可以忽略不记而作为质点.设摆长L，重力加速度g，其运动方程： 当摆角很小时. ,sin0式中及取
5、决于初始条件。 ，为故单摆周期圆频率故 可见，理想单摆周期T只与单摆摆长和当地的重力加速度有关，若测得摆长和周期，就可求出当地的重力加速度： 图（1） 单摆实验理论图2.1.2 现实的模型（为任意角）不对角进行近似，及回复力： （a）由机械能守恒： （b）由（a），（b）可得： （1）上式可以写成： 略去高次项，保留二次小量。有： （2）很小时，取零级近似有： （3）2.1.3 式（3）中要求摆角的说法欠准确。在此提出质疑： 由（2）式算得： 表一 摆角变化对周期的影响 1.000076 1.00017 1.00048 1.0019 1.0075 1.017 1.037式（2）与式（3）比较：
6、当时，有约万分之五（0.00048）的差别，因此我们不能把式（3）成立的条件写作；因为如果只计摆角影响，我们要求实验结果的精确度高于万分之五时，就够了。反之，如果我们容许实验的不高于千分之二时，式（2）与式（3）差0.0019也是允许的2.1.6 用摆长差求g 在物理实验中常常不去测量物理量本身，而去测量其改变量。如测量金属丝在外力下的伸长量，材料受热膨胀量等。在改变量相对于物理量本身是一个小量的情况下可以得到较好的结果。这里用测量摆长差来代替直接测量摆长本身（摆球的重心难于准确测定）。如右图所示：设l1为悬线的长度，r为摆球的半径， 周期为T1，则摆长 （4）改变的长度为，相应的周期为2则摆
7、长为 （5）以上两式（4）-（5）得： 即 代入（1）式中： 但是摆长差求g有局限性：如果能精确测量摆长，有 用摆线差 有 设 则 可见越小，结果越不好；只有在摆球是不规则物体或直接测不准时，采用摆长差的方法。2.2 实验装置及测量仪器2.2.1 卡线机制 单摆的基本结构是用线吊起一个摆球。单摆的悬点要在一个点上，把摆线紧紧卡住。摆线通过一个小孔垂下（图5）是不好的。这样在摆动时的摆长是一个不确定量。卡线的办法很多：用螺丝.夹板等都可以。用一个钉在墙上的斜刀也可以（图6）。 卡线装置2.2.2 摆球 摆球常用铁制。为了吊线，摆球上方会有一个“凸起”图7a。加工摆球时可以挖出一个空隙与a补偿，以
8、免影响质心的位置。设摆球的直径为28cm，a的线度为4cm，则a与摆球的质量的质量比为（4/28）3 1/343。a的存在将会使球的质心偏离球心（28mm/2）*（1/343）0.04mm，即使没有补偿，也不会影响摆长的测量结果。为了用光电计时器计时，摆球的底面加一个挡光板图7（a），也可获得与“突起”a的补偿效果摆球2.2.3 摆线 摆线用很系的钢丝为好,利用圆周运动的向心力可以计算出摆线在各时刻的受力.估计其最大受力及伸长.可以得到t的改变量及对g的影响的数量级.摆线的选择应该使其影响可略去.尼龙丝的杨氏摸量小,相对伸长大,是不好的.2.2.4 计时器.米尺和测摆角装置 计时器用合格的石英
9、振荡电子秒表,在常温下,可以达到10 的精度,所以不需校准;机械秒表就必须校准.随便的秒表是不可以用的.用光电计时器可以把测得的精确度0提高一个数量级. 测l要用带卡口的长于1m的米尺 ,游标尺是不必要的.用测高仪测量摆长可以提高精度.在摆线后面加一块表面有一竖直的平面镜(图8)可以减少视觉差,利用弧度尺(图9a)或直尺(图9b)都可以判断或估算摆角: 摆角测量装置2.3 测量2.3.1摆长和摆球直径 用带卡口的长米尺可以把摆长的估读误差降低到小于0.5mm,比较以下三种测量方案:图10（a）是直接测量。如果摆球半径，则利用代替的误差为小于估读误差。这种方法的缺点是p点不易找准，带来较大误差。
10、 图10（b）是测量及，这种方法可能会把摆线伸长。图10（c）是测量及，这种方法较好，是三种方案中最好的。摆球直径用游标卡尺测量，一次测量以足够，误差可以不计。必须测量沿悬线方向的直径如图11（a），不能去测量其他方向的。为此，可以把摆球做的略椭，且视看出来、从数据上可以看出来，要从不同起点多次测量，各次间相差应不超过1cm，这样如取=100cm，经过多次测量的误差为10-4。 摆角测量装置2.3.2 周期2.3.2.1 用光电计时器测周期，用累积的方法，每次测n个周期得nT，测几十个周期的相对误差可减为测一个周期的1/n，算回到一个周期比测一个周期其绝对误差亦减少为1/n，如果=100cm.
11、 ，则，各次间相差应不超过0.2s，则多次平均误差在10-4 。 可考虑nT中n=？ 共测多少次？如果5次与n=50，测3次，那种好？注意：要在摆球过最底点时计时，这时摆球运动速度最快，理论上误差最小。光电计时器的接收器进光缝要窄，要放在最低位置以减少阻尼引起的误差。 2.3.2.2上面一般常测量几十个及至n个周期的时间间隔，再除以振动次数n，即可以得到较精确的周期值。实验者在累计振动次数时常因疲劳而数错振动次数，于是产生较大的误差。这里采用“渐进法”测量单摆的周期：可以数较少的振动次数来获得较高精度的周期值。 先测定n1个周期的时间间隔t1，一般取n1的值较小（如n1=30），由此得到的周期
12、当然不够精确，但是可以作为一次近似值T01，T01= t1/ n1，当单摆继续平稳振动通过平衡位置可重新计时，此时实验者可不必去数振动次数，经过一段较长时间后当单摆再度与初始相同方向经过平衡位置时，记录该段的时间间隔t2，其间的振动次数n2理应为整数。但计算t2/T01值时常出现小数位值。于是将该小数位值按四舍五入原则处理，其整数值就选定为n2，这样就可以的到比T01更精确的周期T02. T02= t2/ n2. 一般取n2值较大（如n2为100左右）。在采用“渐进法”进行教学实践时，常发现有些同学由实验数据计算出来的t2/T01其小数位出现了3，4，5，6和7等数，并常伴最后得出的重力加速度
13、值有较大的误差，究其原因：主要是由于时间间隔的测量误差（t1和t2）较大引起的。如果一摆长的单摆振动周期的正确值T0正好为2s，分别测定这个摆30个， 100个周期的时间间隔t1。t2，在其测量误差分别为. . 秒时，可以算出相应的t2/T01（设该值为）。其结果如下表所示：表二 渐进法测周期表 t2t1 n/2200.0200.1199.9200.2199.8200.3199.760.0100.0100.1100.0100.199.9100.299.960.199.999.999.8100.099.8100.099.759.9100.2100.2100.1100.3100.1100.3100.060.299.799.799.699.899.699.899.559.8100.4100.4100.3100.4100.3100.5*100.260.399.599.69
