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1、 高考圆锥曲线的常见题型典型例题题型一:定义的应用例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程表示的曲线是 题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):1、 椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。2、 双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;3、 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。典型例题例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 例2、例 翰k为何值时,方程的曲线:(1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线
2、上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、 椭圆焦点三角形面积 ;双曲线焦点三角形面积2、 常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、 四者的关系在圆锥曲线中的应用;典型例题例1、 椭圆上一点P与两个焦点的张角,求证:F1PF2的面积为。 例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的范围;3、注重数形结合思想不等式解法;典型例题例1、已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边
3、作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 例2、 双曲线(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 例3、椭圆:的两焦点为,椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围;例4、已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断1、 点与椭圆的位置关系点在椭圆内 ;点在椭圆上;点在椭圆外;2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:0相交=0相切 (需要注意二次项系数为0的情况)0; “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系
4、(或); “共线问题”(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);(如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等); “点、线对称问题” 坐标与斜率关系; “弦长、面积问题”坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);六、化简与计算;七、细节问题不忽略:判别式是否已经考虑;抛物线问题中二次项系数是否会出现0.直线与圆锥曲线的基本解题思想总结:1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;也可先在特殊条件下求出定值
5、,再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法:常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。典例1、已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且(1)求动点的轨迹的方
6、程;(2)已知圆过定点,圆心在轨迹上运动,且圆与轴交于、两点,设,求的最大值例2、如图半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且ODAB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=,求的取值范围.例3、设、分别是椭圆:的左右焦点。(1)设椭圆上点到点、距离和等于,写出椭圆的方程和焦点坐标;(2)设是(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程;(3)设点是椭圆上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于,两点,当直线
7、 , 的斜率都存在,并记为,试探究的值是否与点及直线有关,并证明你的结论。例4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为()求椭圆的标准方程;()若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标例5、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值; 典型例题:例1、由、解得, 不妨设, 当时,由得, 当且仅当时,等号成立当时,由得, 故当时,的最大值为 例
8、2、解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4.曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1.曲线C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2, 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)2415(1+5k2)0,得k2.由图可知= 由韦达定理得将x1=x2代入得两式相除得 M在D、N中间,1又当k不存在时,显然= (此时直线l与y轴重合)综合得:1/3 1.例3、解:(1)由于点在椭圆上,得2=
9、4, 椭圆C的方程为 ,焦点坐标分别为 4分(2)设的中点为B(x, y)则点 5分把K的坐标代入椭圆中得7分线段的中点B的轨迹方程为 8分(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称 设, 在椭圆上,应满足椭圆方程,得 = 故:的值与点P的位置无关,同时与直线L无关.例4、解:()椭圆的标准方程为 ()设,联立得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,即,解得:,且均满足,1、当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;2、当时,的方程为,直线过定点所以,直线过定点,定点坐标为 例5、解(1)。 ,设则 点在曲线上,则 从而,得,则点的坐标为(2)由(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为,则PB的直线方程为: 由得设则, 同理可得,则 所以:AB的斜率为定值例6、 解:(1)由,得 夹角的取值范围是().(2) 当且仅当或 椭圆长轴 或故所求椭圆方程为.或 14分12