《高中数学 典型例题 随机事件 新课标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 典型例题 随机事件 新课标（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、典型例题一例1 同时掷四枚均匀硬币，求： （1）恰有两枚“正面向上”的概率； （2）至少有两枚“正面向上”的概率 分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本月于等可能事件的概率问题四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上 解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为： （种）（1）恰有两枚正面向上的结果总数为，所以恰有两枚正面向上的概率为（2）至少有两枚正面向上的结果总数为：种
2、所以至少两枚正面向上的概率为 说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率，设两个事件分别为A、B，可以求到：典型例题二例2 用4个不同的球任意投入4个不同的盒子内，每盒投入的球数不限，计算； （l）无空盒的概率，（2）恰好有一空盒的概率 分析：一次试验的结果是每个球分别在哪个盒子，由于一个球投入哪一个盒中是任意的，所以一次试验的各个结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题，4个不同小球投入4个盒子的结果总数可以用分步计数原理求得，无空盒的情况实质上相当于每个小球在一个盒中，每个盒子一个球
3、，也就是把4个小球“分配到”4个不同的盆中，信有一个空盒的情况相当于有一个盒子两个球，还有两个盒子各1球，至于它们各自的结果总数可以用排列组合的方法解决 解：本题是等可能事件的概率问题，4个不同的小球投入四个盆子的所有不同的结果总数为： （l）无空盒的结果总数为 所以无空盒的概率为（2）恰有一个空盒，则必有一盒2球，另有两盒各1球，其所有可能结果总数为： 所以恰有一空盒的概率为： 说明：由于每个小球投入哪一个盒子是任意的，从而导致4个小球投入4个盒子的不同结果是等可能的，现在把球换成人，盒子换成房间，则问题就转变成了若干人任意住进若干个房间的问题，这就是古典概率中有名的“分房问题”典型例题三例
4、3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人试求下列事件的概率 （1）事件A：指定的4个房间中各有1人； （2）事件B：恰有4个房间中各有1人； （3）事件C：指定的某个房间中有两人； （4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为事件A中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有种不同结果；事件B中恰有4个房间，每间1人与事件A的区
5、别在于哪4间房不空；事件C中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：（种）（1）指定的4个房间每间1人共有种不同住法（2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：（种），（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：（种）， 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等我们可以看例子：某班有
6、50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为，则至少有两人在同一天生日的概率为，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果典型例题四例4 某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开房门锁的概率是多少
7、？ 分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个 解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是 （1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为： 所以恰好第3次打开房门的概率为： （2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：3 所以前3次打开房门的概率为： 说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前
8、3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：，恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为，从而前3次内打开房门的概率为：典型例题五 例5 抽签口语测试，共有ab张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a张，他是第k个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率 分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题由于某考生是第
9、是次抽签，他能抽到会考考签相当于全排列中第k个元素，是某人会考的a个考签中的一个，我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数，然后用等可能事件的概率公式求解 解：本题是等可能事件的概率问题ab个考生的所有不同的抽签结果的总数为， 某个考生第k次抽签，他正好抽到会考的a张考签的一个，相当于所有抽签的结果中第k张考签是a张考签中的1张，我们可以得到所有这种抽签结果的总数为： 所以某个考生抽到会考考签的概率为： 说明：从计算结果看，第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响，也就是说，无论他是第几个抽签，都不会影响他抽到会考考签的可能性在日常生活中有这样的问题：10张彩票中有1张是中奖彩票
10、，现在10个人去摸彩，先模后摸对中奖的可能性有无影响？现在我们可以来计算这个问题的结果，现在假定你是第m个去摸奖，为了计算中奖的概率，先算出10个人摸彩的所有可能结果是10！，而中奖彩票正好出现在第m个的所有可能结果为9！，这样可以得出你中奖的概率为，结果与m并无关系，根本无须担心中奖彩票被别人抓去典型例题六 例6 已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽取1只测试，测试后放回，求下列事件的概率 （1）抽3次，第3只是正品； （2）直到第6只时，才把2只次品都捡到了 分析：每次从10件晶体管中任取1件，经过若干次，各种结果的可能性是一样的，抽 3次，所有可能抽出的结果总数为101010
11、，抽6次，所有可能抽出的结果总数为，到第6次时正好第2只次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次品，当然这只次品也可能出现过几次我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为，这个式子的含义是先走下第6次抽出的次品是哪一个，然后用前5次抽检的所有结果总数（前5次未出现第6次抽检的次品）减去前5次全是正品的所有结果总数 解：本题是等可能事件的概率问题 （1）抽检3次所有可能的抽检结果总数为，第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10108 所以第三只是正品的概率为： （2）抽检6次所有可能的抽检结果总数为 第6只时才能把第2只次品抽检到， 前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少
12、出现一次另一只次品 第6只时才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为 此事件发生的概率为： 说明：如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6只时才把2只次品都找出来的概率是多少？这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再拿回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为，第6次抽到第2件次品，说明第6件是次品，前面还有一件次品，所有可能的结果总数为，其含义是先在第6个位置放一个次品，另一个次品在前面5个位置的某一个上，最后在其它四个位置上放上8件正品中的4个用等可能事件的概率公式可算出此事件发生的概率是典型例题七例7求100件产品中，有95
13、件合格品，5件次品从中任取3件，求：(1)3件都是合格品的概率；(2)3件都是次品的概率；(3)2件是合格品、1件是次品的概率分析：可从集合的角度处理本题需求出全集的元素个数及中各子集的元素个数解：从100件产品中任取3件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取3个元素的组合数由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等(1)由于在100件产品中有95件合格品，取到3件合格品的结果数，就是从95个元素中任取3个元素的组合数，记“任取3件，它们都是合格品”为事件，那么事件的概率：得件都是合格品的概率为(2)由于在100件产品中有5件次品，取到3件次品的结果数，就是从5个元素中任取3个元素的组合数
14、记“任取3件，它们都是次品”为事件，那么事件的概率：得3件都是次品的概率为(3)记“任取3件，其中2件是合格品、1件是次品”为事件由于在种结果中，取到2件合格品、1件次品的结果有种，故事件的概率：得2件合格品、1件是次品的概率为说明：本题是产品抽取问题抽取时，抽到其中的任何一件产品的可能性都相等，可用等可能事件的概率公式进行计算典型例题八例8现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品(1)如果从中取出一件，然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正确的概率(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率解：(1)为返回抽样问题，每次抽样都有10种可能，根据分步计数原理，所有等可能出现的结果为种，设表示“三次返回抽样，所抽得的3件产品都是正品”，则所包含的结果根据分步计数原理有种(2)为不返回抽样问题，所有等可能出现的结果为种，设表示“一次抽3件，所抽得的产品都是正品”，则所包含的结果有，所以，说明：求等可能事件的概率，在求时应注意种结果必须是等可能的，例如抛掷2枚均匀硬币，共出现种可能结果，如果认为只有“2个正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种结果，那么显然这3种结果不是等可能的典型例题九例9箱中有个正品，个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，问取出的3个全是正品的概率是多少？分析1：可以看作不放回抽样3次有顺序解法1：从个
