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1、第1页 共 17页 2020 年上海市高考数学模拟试卷 2 一 填空题 共12 小题 满分60 分 每小题5分 1 5 分 已知实数集合 1 2 3 x 的最大元素等于该集合的所有元素之和 则 x 2 5 分 2 2 3 2 1 3 5 分 已知过点A 0 1 且斜率为k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N 两点 若 12 其中 O 为坐标原点 则 MN 4 5 分 x2 x x 2 4 的展开式中 x3的系数为 5 5分 设 Sn是等差数列 an 的前 n项和 若 m为大于 1的正整数 且 1 2 1 1 S2m 1 11 则 m 6 5 分 学校准备从甲 乙 丙
2、三位学生中随机选两位学生参加问卷调查 则甲被选中的 概率为 7 5 分 函数y sin 2 2x 1 的最小正周期是 8 5 分 设实数 x y 满足条件 4 0 0 1 则 z x 3 2 y 2 2 的最小值为 9 5 分 棱长为 a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD 的底面重合 若由它们构成的多 面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上 则正三棱锥E BCD 的内切球半径为 10 5 分 在 ABC 中 已知 a c sinA sinC a b sinB 则角 C 11 5 分 已知x 0 y 0 且 x 3y xy 若 t2 t x 3y 恒成立 则实数t 的取值范围是 12
3、5 分 已知函数f x 2lnx 1 g x a x m 若存在实数a 0 使 y f x g x 在 1 e 上有 2 个零点 则m 的取值范围为 二 选择题 共4 小题 满分20 分 每小题5 分 13 5 分 已知i 是虚数单位 复数z 满足 z 1 i 1 i 则复数z的共轭复数在复平面 上对应的点为 A 1 0 B 0 1 C 1 0 D 0 1 14 5 分 m 1 2 是 lnm 1 成立的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 15 5 分 如图所示的程序框图 输出S的值为 第2页 共 17页 A 299 2 3 B 2100 2 3 C
4、2101 2 3 D 2102 2 3 16 5 分 如图 已知F 为抛物线y2 2x 的焦点 点 A B 在该抛物线上且位于x 轴的两 侧 3 其中 O 为坐标原点 则 ABO 与 BFO 面积之差的最小值是 A 2B 3C 3 5D 10 三 解答题 共5 小题 满分70 分 17 12 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 AB AC 2 AB AC M 是棱 BC 的中点 点P 在线段 A1B 上 1 若 P 是线段 A1B 的中点 求直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小 2 是否存在点P 使得直线MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6 若存在 求出线段BP 的长度
5、 若不存在 请说明理由 18 14 分 王老师在做折纸游戏 现有一张边长为1 的正三角形纸片ABC 将点 A 翻折后 恰好落在边BC 上的点 F 处 折痕为DE 设 BD x BF y 第3页 共 17页 1 求 x y 满足的关系式 2 求 x 的取值范围 19 16 分 数列 an 是首项为1 公差不为0 的等差数列 且a1 a2 a5成等比数列 数 列 bn 的前 n 项和为 Sn 且 b1 2 1 2 3 1 n N 求an bn 若cn an bn 且数列 cn 的前 n 项和为 Tn 证明 Tn 9 20 14 分 已知椭圆C 2 2 2 2 1 a b 0 的长轴长是焦距的2 倍
6、 且过点 1 3 2 1 求椭圆 C 的方程 2 设 P x y 为椭圆 C 上的动点 F 为椭圆 C 的右焦点 A B 分别为椭圆C 的左 右顶点 点P 满足 4 x 0 证明 为定值 设 Q 是直线 l x 4 上的动点 直线 AQ BQ 分别另交椭圆C 于 M N 两点 求 MF NF 的最小值 21 14 分 设函数f x ax 2 b 其中 a b 是实数 若ab 0 且函数f f x 的最小值为2 求 b 的取值范围 求实数a b 满足的条件 使得对任意满足xy l 的实数 x y 都有 f x f y f x f y 成立 第4页 共 17页 2020 年上海市高考数学模拟试卷
7、2 参考答案与试题解析 一 填空题 共12 小题 满分60 分 每小题5分 1 5 分 已知实数集合 1 2 3 x 的最大元素等于该集合的所有元素之和 则 x 3 解答 解 因为实数集合 1 2 3 x 的最大元素等于该集合的所有元素之和 所以 1 2 3 x x 无解 或者1 2 3 x 3 解之得 x 3 故答案为 3 2 5 分 2 2 3 2 1 2 3 解答 解 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 故答案为 2 3 3 5 分 已知过点A 0 1 且斜率为k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N 两点 若 12 其中 O 为坐标原点 则 MN 2
8、解答 解 设 M x1 y1 N x2 y2 将 y kx 1 代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 x1 x2 4 1 1 2 x1x2 7 1 2 y1y2 kx1 1 kx2 1 k 2x1x2 k x1 x2 1 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 4 1 1 2 8 由题设可得 4 1 1 2 8 12 解得 k 1 l 的方程为y x 1 圆心 C 2 3 在 l 上 MN 2 故答案为 2 4 5 分 x2 x x 2 4 的展开式中 x3的系数为 8 解答 解 因为 x2 x x 2 4 x2 x 4 0
9、4 4 1 3 2 4 2 2 2 2 4 3 2 3 4 4 2 4 故 x3的系数为 4 3 2 3 4 2 2 2 8 故答案为 8 5 5分 设 Sn是等差数列 an 的前 n项和 若 m为大于 1的正整数 且 1 2 1 1 S2m 1 11 则 m 6 第5页 共 17页 解答 解 依题意 am 1 am 1 2am 由 1 2 1 1 可得 2am 2 1 整理 得 2 2am 1 0 解得 am 1 S2m 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2m 1 2am 2m 1 S2m 1 11 2m 1 11 解得 m 6 故答案为 6 6 5 分 学校准备从甲 乙 丙三位学
10、生中随机选两位学生参加问卷调查 则甲被选中的 概率为 2 3 解答 解 学校准备从甲 乙 丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查 基本事件总数n 3 2 3 甲被选中包含的基本事件个数m 1 1 2 1 2 则甲被选中的概率为P 2 3 故答案为 2 3 7 5 分 函数y sin 2 2x 1 的最小正周期是 2 解答 解 y sin 2 2x 1 1 4 2 1 4 2 1 2 T 2 4 2 故答案为 2 8 5 分 设实数 x y 满足条件 4 0 0 1 则 z x 3 2 y 2 2 的最小值为 1 2 解答 解 作出不等式组对应的平面区域 则 z 的几何意义为区域内点P 到点 D
11、 3 2 的距离平方 由图象可知 当过点D 作直线 x y 4 0 的垂线时 第6页 共 17页 此时 DP 最小 DP 3 2 4 12 12 2 2 则 z DP 2 1 2 故答案为 1 2 9 5 分 棱长为 a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD 的底面重合 若由它们构成的多 面体ABCDE的顶点均在一球的球面上 则正三棱锥E BCD的内切球半径为 3 2 6 12 a 解答 解 棱长为a的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD 的底面重合 由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上 多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球 且其外接球的直径为AE 由题
12、意得正四面体ABCD 的高为 6 3 外接球的半径为 6 4 设正三棱锥E BCD 的高为 h AE 6 2 a 6 3 h 6 6 底面 BCD 的边长为a EB EC ED 2 2 则正三棱锥E BCD 的三条侧棱两两垂直 由题意得正棱锥E BCD 的表面积 S 3 3 4 2 体积 VE BCD 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 24 3 设正三棱锥E BCD 的内切球的半径为r 第7页 共 17页 由 1 3 2 24 3 得 r 3 2 6 12 故答案为 3 2 6 12 a 10 5 分 在 ABC 中 已知 a c sinA sinC a b sinB 则角 C 3
13、解答 解 由正弦定理化简 a c sinA sinC a b sinB 得 a c a c b a b 整理得 a2 c2 ab b2 即 a2 b2 c2 ab 由余弦定理得cosC 2 2 2 2 1 2 C 为三角形内角 C 3 故答案为 3 11 5 分 已知x 0 y 0 且 x 3y xy 若 t 2 t x 3y 恒成立 则实数 t 的取值范围是 4 3 解答 解 x 0 y 0 且 x 3y xy 1 3 1 x 3y 3 1 3 6 9 6 2 9 12 当且仅当 9 即 x 6 y 2 时取等号 x 3y 的最小值为12 t2 t x 3y 恒成立 t2 t x 3y mi
14、n t2 t 12 4 t 3 t 的取值范围为 4 3 故答案为 4 3 12 5 分 已知函数f x 2lnx 1 g x a x m 若存在实数a 0 使 y f x g x 在 1 e 上有 2 个零点 则m 的取值范围为 2 解答 解 令 f x 2lnx 1 0 得 x 且在 1 e 上递增 对于 g x a x m 函数图象关于x m 对称 且开口向上 当 m e时 显然只有一个交点 不符题意 图 当 时 总能找到a 使得两函数有两个交点 图 第8页 共 17页 当 m 时 y g x 的图象的右半部分至多与y f x 在 x 轴上方的图象产生两 个交点 此时只需研究g x a
15、x m 与 y f x 的图象即可 事实上 此时过点 m 0 做 y f x 的切线 只要是切点落在 内即可 图 设切点为 x0 2lnx0 1 且 k 2 0 所以切线方程为 2 0 1 2 0 0 将 m 0 代入整理得 3 2 0 0 0 0 1 2 0 令 0得 0 易知 时 m 0 故 3 2 0 0 0在 递减 即 2 综上可知 当 2 时 存在实数a 0 使 y f x g x 在 1 e 上有 2 个零点 故答案为 2 第9页 共 17页 二 选择题 共4 小题 满分20 分 每小题5 分 13 5 分 已知i 是虚数单位 复数z 满足 z 1 i 1 i 则复数z的共轭复数在
16、复平面 上对应的点为 A 1 0 B 0 1 C 1 0 D 0 1 解答 解 由 z 1 i 1 i 得 1 1 1 2 1 1 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 0 1 故选 D 14 5 分 m 1 2 是 lnm 1 成立的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 解答 解 lnm 1 0 m e 1 2 0 e m 1 2 是 lnm 1 成立的充分非必要条件 故选 A 15 5 分 如图所示的程序框图 输出S的值为 第10页 共 17页 A 299 2 3 B 2100 2 3 C 2101 2 3 D 2102 2 3 解答 解 通过分析知该算法是求和2cos 2 2cos2 23cos3 2100cos100 由 于2cos 22cos2 23cos3 2 100cos100 2 22 23 24 2100 2 2 2100 1 2 2101 2 3 故选 C 16 5 分 如图 已知F 为抛物线y2 2x 的焦点 点 A B 在该抛物线上且位于x 轴的两 侧 3 其中 O 为坐标原点 则 ABO 与 BFO 面积之差的最小值
