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1、安徽省安庆市第九中学八年级数学下册2.3 一元二次方程的应用学案 浙教版 知识梳理一、知识结构二、知识要点归纳1.数学应用题由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”
2、即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.1. 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1） 找找出题中的等量关系（2） 设设未知数（3） 列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4） 解解出所列的方程（5） 验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6） 答作答下结论三、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.解题指导例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨
3、价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得8000只.只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多.其中的等量关系是：每个商品的利润销售量=8000（元）.这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题.解：设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是个.由题意列方程为 整理，得 .解方程，得 .故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-1010=400个，当商品每个单价为80元时，其进货
4、量只能是 500-1030=200个.答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个.点评：此题属于能力要求较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量：每个商品的利润、销售的量.例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？分析：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数.当然首先要求（或表示）出基数：=60040%.解：设2001年预计经营总收入
5、为万元，每年经营总收入的年增长率为. 根据题意，得 解方程，得不合题意，舍去）， 答：2001年预计经营总收入为1800万元.点评：本题是有关增长率问题，它的基本关系式是：基数=实际数.例3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过千瓦时，则一个月的电费只要交10元，若超过千瓦时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交元.一户职工三月份用电80千瓦时，交电费25元；四月份用电5千瓦时，交电费10元，试求的值.分析：本题需先判断的范围，再建立等量关系：超过千瓦时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口.解：由题意，可知45. 且有 . 解得 （千瓦时），（不合题意，
6、舍去）.答：的值为50千瓦时.自我测试一、基础验收题1.已知两个连续偶数的积是168，则较大的偶数为（ ） A.12 B.14 C.16 D.182.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D.3.某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台，则每年平均约增长（ ）A.5% B.8% C.10% D.15%4.三个连续奇数，两两相乘后再相加，其和为359，求这三个数.5.某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到72万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率.
7、6.王先生将三年前购置的一辆当时售价为28万元的汽车在汽车交易市场出售，得款17.5万元（含交易手续费及税金），已知第一年的折旧率为20%，求后两年的平均折旧率是多少？（精确到0.1%）7.某企业向银行贷款200万元开发新产品，一年后还贷款100万元，第二年后共还贷款及付息132万元.贷款均按一年期计算，年利率不变.求这种贷款的年利率.8.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.9.某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售
8、800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？二、综合能力测试题1.在一次庆典上，几个老同学互送纪念品一件，共送出72件纪念品，这些老同学共有几人？2. 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？3. 每件商品的成本是120元，试销了一阶段后，发现每件售价
9、（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样.为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间数量关系的情况下，每件定价为元时，每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销策划员，的值应是几？3.9 一元二次方程的应用（二） 解题指导例1.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题
10、便显得轻而易举. 解:可设甬路宽为米,依题意,得,解得(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m. (1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论的不同取值所产生的影响.解：（1）设鸡场的宽为m，则长为m.依题意列方程为 .整理，得 .解方程，得.所以当时，.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.（2）由（1）解得结
11、果可知：题中墙长m对题目的解起严格的限制作用.当时，问题无解；当时，问题只有一解，即可建宽为10m，长为15m的一种鸡场；当时，问题有两解.点评：应注意讨论对题目的解起的关键作用.例3.已知：如图3-9-3所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动. （1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于7cm2?说明理由.分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等.解 （1）设s后，的面积等于4cm2，此时，.由得 .
12、整理，得 .解方程，得 .当时，,说明此时点越过点，不合要求.答：1s后，的面积等于4cm2.（2）仿（1），由 得.整理，得 解方程，得（不合，舍去），.答：2s后， 的长度等于5cm.（3）仿（1），得整理，得 容易判断此方程无解.答：的面积不可能等于7cm2.点评：较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何知识，如：面积公式；勾股定理；其它乘积关系的几何定理等等.观察图形，寻找等量关系，列出方程是解这类问题的关键.自我测试一、基础验收题长m 长.1.直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（ ） A.17 B.26 C.30 D.132.在一幅长80c
13、m，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是（ ） A. B. C. C.3.把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm2,那么原来正方形的边长应是（ ） A.3cm B.5cm C.4cm D.6cm4.如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度. 5.小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形如图3-9-6，这样就
14、必须将长减少3m，宽增加2m，同时面积减少5m2.问改建后的花园面积为多少m2.6.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7，已知原长方形的长为30米，宽20米，要使每个小长方形面积不少于126m2.则每条小路宽至少为多少米?7.等腰梯形上、下底及高之比为142，它的腰与高之差为1cm，求梯形的面积.8.在一块长是宽的2倍的长方形的中央开辟一个面积最大的圆形花园，这块长方形土地的剩余面积是180m2，求这块长方形土地的长和宽？（结果可保留）9.如图3-9-8，梯形中，是高，若.求的长.二、综合能力测试题1.如图3-9-9，长方形铝皮的长40cm,宽30cm,在四角截去相同的四个小正方形后，折起来做成一个没有盖子的盒子.已知盒子的底面面积是原长方形面积的一半，求盒子的高. 2.如图3-9-10，等腰Rt中，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2？3.如图3-9-11，一张矩形报纸的长，宽.、分别是、的中点，将这张报纸沿
