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1、安徽省安庆市第九中学八年级数学下册2.3 一元二次方程的应用学案 浙教版 知识梳理一、知识结构二、知识要点归纳1.数学应用题由实际情景加工整理成抽象实际的问题,通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题,数学应用题是经过加工的数学应用问题,是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.(1) 加工“背景”:让背景材料为学生所熟悉的材料;让背景材料较为简洁.(2) 加工“数学”:让“数学化”的过程较为简单,让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.(3) 加工“检验”:在问题中的检验和讨论“实际化”
2、即检验数学结果是否合乎实际问题,有验证的意识就可以了.1. 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤(1) 找找出题中的等量关系(2) 设设未知数(3) 列列出方程,即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式(4) 解解出所列的方程(5) 验将方程的解代入方程中检验,回到实际问题中检验(6) 答作答下结论三、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一,它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样,随着改革的继续而更富有时代的气息,更宣于生活化,更贴近学生的实际.解题指导例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个.已知这种商品每个涨
3、价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个?分析:如果按单价50元售出,每个利润是10元,卖出500个,只能赚得5000元.为了赚得8000只.只能涨价,但要适度,否则销售量就少得太多.其中的等量关系是:每个商品的利润销售量=8000(元).这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题.解:设商品的单价是元,则每个商品的利润是元,销售量是个.由题意列方程为 整理,得 .解方程,得 .故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时,其进货量只能是500-1010=400个,当商品每个单价为80元时,其进货
4、量只能是 500-1030=200个.答:售价定为60元时,进货是400个,售价定为80元时,进货是200个.点评:此题属于能力要求较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量:每个商品的利润、销售的量.例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?分析:运用基本关系式:基数(1+平均增长率)n=实际数.当然首先要求(或表示)出基数:=60040%.解:设2001年预计经营总收入
5、为万元,每年经营总收入的年增长率为. 根据题意,得 解方程,得不合题意,舍去), 答:2001年预计经营总收入为1800万元.点评:本题是有关增长率问题,它的基本关系式是:基数=实际数.例3.某市供电公司规定,本公司职工,每户一个月用电量若不超过千瓦时,则一个月的电费只要交10元,若超过千瓦时,则除了交10元外,超过部分每千瓦/时还要交元.一户职工三月份用电80千瓦时,交电费25元;四月份用电5千瓦时,交电费10元,试求的值.分析:本题需先判断的范围,再建立等量关系:超过千瓦时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口.解:由题意,可知45. 且有 . 解得 (千瓦时),(不合题意,
6、舍去).答:的值为50千瓦时.自我测试一、基础验收题1.已知两个连续偶数的积是168,则较大的偶数为( ) A.12 B.14 C.16 D.182.某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为,则列出方程正确的是( ) A. B. C. D.3.某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台,则每年平均约增长( )A.5% B.8% C.10% D.15%4.三个连续奇数,两两相乘后再相加,其和为359,求这三个数.5.某工厂今年1月份产品数是50万件,要求3月份达到72万件,求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率.
7、6.王先生将三年前购置的一辆当时售价为28万元的汽车在汽车交易市场出售,得款17.5万元(含交易手续费及税金),已知第一年的折旧率为20%,求后两年的平均折旧率是多少?(精确到0.1%)7.某企业向银行贷款200万元开发新产品,一年后还贷款100万元,第二年后共还贷款及付息132万元.贷款均按一年期计算,年利率不变.求这种贷款的年利率.8.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元购物,剩下1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款利率不变,到期后得本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.9.某商店进了一批服装,进价为每件50元.按每件60元出售时,可销售
8、800件;若单价每提高1元,则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元,问销售单价应定为多少元?此时应进多少件服装?二、综合能力测试题1.在一次庆典上,几个老同学互送纪念品一件,共送出72件纪念品,这些老同学共有几人?2. 某百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?3. 每件商品的成本是120元,试销了一阶段后,发现每件售价
9、(元)与产品的日销售量(件)始终存在下表中的数量关系,但每天的盈利(元)却不一样.为找到每件产品的最佳定价,商场经理请一位营销策划员通过计算,在不改变每件售价(元)与日销售量(件)之间数量关系的情况下,每件定价为元时,每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销策划员,的值应是几?3.9 一元二次方程的应用(二) 解题指导例1.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题
10、便显得轻而易举. 解:可设甬路宽为米,依题意,得,解得(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m. (1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论的不同取值所产生的影响.解:(1)设鸡场的宽为m,则长为m.依题意列方程为 .整理,得 .解方程,得.所以当时,.答:当鸡场的宽为10m时,长为15m;当鸡场宽为7.5m时,长为20m.(2)由(1)解得结
11、果可知:题中墙长m对题目的解起严格的限制作用.当时,问题无解;当时,问题只有一解,即可建宽为10m,长为15m的一种鸡场;当时,问题有两解.点评:应注意讨论对题目的解起的关键作用.例3.已知:如图3-9-3所示,在中,.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动,点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动. (1)如果分别从同时出发,那么几秒后,的面积等于4cm2?(2)如果分别从同时出发,那么几秒后,的长度等于5cm?(3)在(1)中,的面积能否等于7cm2?说明理由.分析:设出未知数后,关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等.解 (1)设s后,的面积等于4cm2,此时,.由得 .
12、整理,得 .解方程,得 .当时,,说明此时点越过点,不合要求.答:1s后,的面积等于4cm2.(2)仿(1),由 得.整理,得 解方程,得(不合,舍去),.答:2s后, 的长度等于5cm.(3)仿(1),得整理,得 容易判断此方程无解.答:的面积不可能等于7cm2.点评:较为复杂的一元二次方程在几何(图形)上的应用,往往要借用一些几何知识,如:面积公式;勾股定理;其它乘积关系的几何定理等等.观察图形,寻找等量关系,列出方程是解这类问题的关键.自我测试一、基础验收题长m 长.1.直角三角形的面积是30,两直角边的和是17,则斜边长为( ) A.17 B.26 C.30 D.132.在一幅长80c
13、m,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图3-9-4所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是( ) A. B. C. C.3.把一个正方形的一边增加2cm,另一边增加1cm,所得的长方形面积比正方形面积增加14cm2,那么原来正方形的边长应是( ) A.3cm B.5cm C.4cm D.6cm4.如图3-9-5,从一块长80厘米,宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方框四周的宽度一样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度. 5.小娟家有一块矩形花园,他爸爸想把它改建成正方形如图3-9-6,这样就
14、必须将长减少3m,宽增加2m,同时面积减少5m2.问改建后的花园面积为多少m2.6.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地,准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路,正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7,已知原长方形的长为30米,宽20米,要使每个小长方形面积不少于126m2.则每条小路宽至少为多少米?7.等腰梯形上、下底及高之比为142,它的腰与高之差为1cm,求梯形的面积.8.在一块长是宽的2倍的长方形的中央开辟一个面积最大的圆形花园,这块长方形土地的剩余面积是180m2,求这块长方形土地的长和宽?(结果可保留)9.如图3-9-8,梯形中,是高,若.求的长.二、综合能力测试题1.如图3-9-9,长方形铝皮的长40cm,宽30cm,在四角截去相同的四个小正方形后,折起来做成一个没有盖子的盒子.已知盒子的底面面积是原长方形面积的一半,求盒子的高. 2.如图3-9-10,等腰Rt中,动点从点出发,沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、,问:等于多少厘米时,平行四边形的面积等于16cm2?3.如图3-9-11,一张矩形报纸的长,宽.、分别是、的中点,将这张报纸沿