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1、婆什迦罗婆什迦罗(Bh1skara) 1114年生于印度南部的比杜尔；约1185年卒于印度乌贾因数学、天文学婆什迦罗的父亲是正统的婆罗门教徒，曾写过一本很流行的占星术著作婆什迦罗长期在乌贾因(Ujjain)工作，是乌贾因天文台的主持人从印度数学的发展来看，到12世纪已经积累了相当多的成果婆什迦罗通过吸收和改进这些成果，并加以进一步研究，其成就又高出前人一筹他在文学上的造诣也很深，其著作显示出较高的诗作技巧婆什迄罗的著作至少有6种：(1)丽罗娃提(Ll1vat)；(2)算法本源(Bja1ganita)；(3)天文系统极致(Siddh1nta1iromani，写于1150年)；(4)关于天文系统极
2、致的研究(V1san1bh1sya on the Si-ddh1ntairomani)；(5)探索珍奇(Karanakut & ala，写于1183年)；(6)关于拉纳的的注释(Vivarana onthe 1isyadhivrddhidatantra of Lalla)有人认为丽罗娃提和算法本源是天文系统极致的两个部分还有一本叫比却帕纳亚(R9opanaya的译音)的书，是否为婆什迦罗的著作，尚无定论丽罗娃提和算法本源是两部重要的数学著作，代表着10001500年间印度数学的最高水平婆什迦罗汇编了来自婆罗摩笈多(Brahmagupta)和施里德哈勒(Sridhara)等数学家的问题，并填补了
3、他的前辈著作中的许多不足关于书名“丽罗娃提”，流行着一个故事：婆什迦罗的女儿名叫丽罗娃提，由占卜得知，她结婚后将有灾祸降临按照婆什迦罗的计算，如果婚礼在某一时辰举行，灾祸便可以避免到了那天，正当新娘等待着“时刻杯”中的水平面下落时，一颗珍珠不知什么原因从她的头饰上掉下来，堵在杯孔上，水不再流出了，从而无法测定出准确的时辰，婚礼没能如期举行婚后不久，丽罗娃提便失去了丈夫为了安慰她，婆什迦罗教她算术，并以她的名字命名自己的著作丽罗娃提分为13章，从一个信徒向神祈祷开始展开全书第1章给出了几个计算表；第2章讲述整数和分数运算，包括计算平方根和立方根，使用了10进制记数法；第3章介绍算术中的反演法、试
4、位法等技巧；第4章讲解来自希腊和中国的应用问题；第5章给出某些算术级数的求和法；第611章是几何学，主要讲面积和体积的计算和可以化为一次方程的实际问题；第12章讲述不定方程；第13章涉及组合学的内容算法本源主要是关于代数的，由8章组成第1章讲述正负数法则；第23章讲整系数一次和二次不定方程的解法；第4章讲线性方程组；第5章研究二次方程，并给出勾股定理的两个证明；第6章包含一些线性不定方程组的实例；第78章补充了二次不定方程的内容印度人对代数学的一大贡献是采用缩写文字和符号来表示未知数和运算，婆什迦罗上述两本书就是这方面的代表作书中给出了零的运算0=a是错误的值得注意的是，在算法本源中，婆什迦罗
5、引入了一个朴素粗糙的无穷大概念他写道：“一个数除以零便成为一个分母是符号0的分数例如3除以0得3/0这个分母是符号0的分数，称为无穷大量在这个以符号0作为分母的量中，可以加入或取出任何量而无任何变化发生，就像在世界毁灭或创造世界的时候，那个无穷的、永恒的上帝没有发生任何变化一样，虽然有大量的各这已经进入无穷小运算的领域了婆什迦罗的几何工作主要以婆罗摩笈多的工作为基础例如球的表面积4圆面积，等等在丽罗娃提中还有许多直角三角形和相似三角形问题，例如：(1)直立在地面上的一支长32腕尺(腕尺为印度古代一种量度单位，即从肘至中指端之长，约1822英寸)的竹子被风吹折，其末端在距根部16腕尺处触地，问折
6、断后的竹高为多少？解：如图1，竹高=AB=32，AD=16，C为竹折断之点若AC=x，则BC=CD=32-x故x2+162=(32-x)2，x=12露出点2腕尺远处没于水中问池中水深多少？类似的题目曾出现在婆罗摩笈多的不定方程讲义中，可见婆什迦罗受到婆罗摩笈多的影响值得注意的是，上述两个问题与中国1世纪时的数学名著九章算术“勾股卷”中的“葭生池中央”、“折竹”等问题只是数据不同，似乎同出一源丽罗娃提给出了平截头台的体积公式若上、下底面为长方形、+(a+a)(bb)它在公元前1800年左右便载入古埃及数学著作“莫斯科纸草书”中，中国的九章算术和婆罗摩笈多的著作也给出了这一公式 婆什迦罗对排列问题
7、进行了深入的研究，提出定理：r个元素中，希腊人最早发现了不可通约量，但是长期不承认无理数是数婆什迦罗和其他一些印度数学家打破了无理数与有理数之间的森严界限他们广泛地使用无理数，在运算中和有理数作同一处理，而两者之间的鸿沟，似乎置若罔闻在算法本源中，婆什迦罗比较全面地讨论了负数，把负数叫做地叙述了负数的运算法则：“正数、负数的平方，常为正数；正数的平方根有两个，一正一负；负数无平方根，因为它不是一个平方数”婆什迦罗对一次和二次方程的讨论比其他印度数学家详尽，同时也大大超过了希腊的丢番图(Diophantus)算法本源中还有一个三次方程和一个双二次方程的例子婆什迦罗承认二次方程有两个根，但将负根弃
8、去不取譬如指出x=50和x=-5都是x2-45x=250的根，但接着说：“本例的第二值不适宜，故弃去，因为人们不赞成负根”印度传统的解不定方程的法则库塔卡法则经婆什迦罗之手也得到改进和推广他指出，若x=，y=是不定方程axc=by的解，则(，)也是该方程的解，这里(modb)，(mod a)；若x=，y=为ax+c=by的一组解，则x=a-b， y=-是方程axbyc=0的解婆什迦罗最有独创性的工作是他对婆罗摩笈多关于不定方程Nx21=y2解法的改进改进后的方法称为圆过程(cyclicprocess)，其内容为：对任意适合的K，取a，b，使得Na2+K=b2，另外，N12(m2-N)=m2，在
9、(a，b，K)和(1，m，m2=N)间应用婆罗摩篷多引理，可得利用库塔卡法，选定m使amb可被K整除，且使m2-N在数值上是较小的作婆什迦罗指出：若a1为一整好，b1和K1也是整数(婆什迦罗定理出：重复上述过程有限次后，可得Na2l=2，其中l=1，2或4(婆什迦罗定理2)再按照婆罗摩笈多的解法，可得出原方程Nx2+1=y2的整数解对于上述的两个定理，婆什迦罗没有给出证明他比较注重Nx21=y2型方程的应用，用其解更一般的二次方程方程Nx2+1=y2的解法称为婆罗摩笈多-婆什迦罗法则，它得到许多数学史家的高度评价婆什迦罗在天文学研究中，也对三角学的发展作出了贡献在天文系统极致第三部分里，他给出
10、了下面一些三角学公式：sin(AB)= sinAcosBcos AsinB；其中R为圆半径在世界数学史上，微积分学经过了漫长而曲折的发展历程在微积分学创始人I牛顿(Newton)和GW莱布尼茨(Leibniz)以前，古希腊数学家阿基米德(Archimedes)和中国古代数学家刘徽就在计算面积和体积的法则中，表现出朴素的积分学思想婆什迦罗也运用类似的法则求球体的表面积和体积为了计算球体的表面积，婆什迦罗采用两种方法第一种方法是用一系列平行圆把表面积分划成许多基本的圆环，这一系列半径不同的平行圆是取表面上的任意点作圆心的，平行圆的数目可以任意多但为了易于计算，应该有已知的正弦数目那么多，基本圆环的
11、面积的和便给出球体的表面积第二种方法是用过球极点的子午圈把球表面分划成许多基本的弓形，每一个弓形再被平行于赤道圆的圆圈分划成许多基本的四边形这些四边形面积的和给出弓形的面积，所有这些弓形面积的和给出球体的表面积为了求得球体积，婆什迦罗利用一系列顶点在球心底面在球表面上且其面积为单位面积的小棱锥，这些梭锥体积的和便给出球的体积婆什迦罗在天文学研究中表现出丰富的微分学思想他为了准确地掌握行星的运动规律，引入了“瞬时法则”，即把一天分为许多小的时间间隔，比较行星在相继时间间隔末的运动位置若y和y是行星在相继时间间隔末的平均近点距离，婆什迦罗给出sinysiny(yy)cosy但这一成果在印度可能还不
12、算最早的按照BB达塔(Datta)的说法，印度的门雅那(Munjala，公元932年)及其著作的评注者卜拉沙斯底达拉(Prashastidhara，公元958年)就已悟出了这一结论婆什迦罗还得出结论：“行星的运动在哪里是个极值，在哪里的运动就将是平稳的”“在逆行的起始和结尾，行星的明显运动消失了”这里包含了导数在函数的极值处等于零以及罗尔(Rolle)定理的概念婆什迦罗的其他几本著作是关于天文学研究的天文系统极致含数理天文学与天体理论两部分，包括行星的平黄经及真黄经、与周日运动有关的三问题、朔望、月食、日食、行星的偕日升落、宇宙结构、行星平均运动原理、行星的离心周转圆模型、球面三角学原理、天文
13、仪器等专章这本著作对印度天文学的发展影响很深婆什迦罗提出了自己的宇宙理论，认为地球居于宇宙之中，靠自己的力量固定于空中；他认为地球上有七重气，分别推动月亮、太阳和行星运动；并认为天体视直径大小的变化是由于它们离开地球远近不同；他甚至还认识到地球具有引力关于天文系统极致的研究是婆什迦罗自己对天文系统极致的注解探索珍奇给出了解天文问题的法则，它们比天文系统极致给出的法则更为简单关于拉纳的的注释有三本手稿，分别存于贝拿勒斯、比卡内尔和乌贾因，尚未出版婆什迦罗的著作在印度有很高的地位在马哈拉施特拉邦的巴特那，发现有关于婆什迦罗的一块重要碑刻碑文上记载着1207年8月9日当地权贵提供给一个教育机构一笔捐款，这笔捐款是资助学者们研究婆什迦罗著作的(从研究天文系统极致开始)按照莫卧儿帝国皇帝阿克拔(Akbar)的旨意，丽罗娃提、算法本源等都被译为波斯文，这些译本分别于1587年和1634年出版婆什迦罗的嫡孙曾创立了一个专门研究天文系统极致的学派，以后的400多年间，有许多学者对此书进行了注释4
