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1、3.1.2复数的几何意义学习目标1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.知识点一复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数
2、；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此
3、，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi平面向量，这是复数的另一种几何意义.思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？(2)象限内的点与复数有何对应关系？答案(1)不是.(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.知识点二复数的模1.如图所示，向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|abi|r(r
4、0，rR).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)|z1z2|z1|z2|，(|z2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|z|z1|n(nN*).(3)|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.思考复数的模的几何意义是什么？答案复数z在复平面内对应的点
5、为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部；满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的内部，|zz0|r表示圆的外部.题型一复数与复平面内的点例1在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(
6、2)由题意，2m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上.题型二复数的模的几何意义例2设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设zabi，由|z|2，得a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. (2)不等式1|z
7、|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.跟踪训练2若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2解析设zxyi(x，yR)，则zi
8、xyiix(y1)i，|zi|，由|zi|知，x2(y1)22.复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，所求图形的面积为S2.故填2.题型三复数的模及其应用例3已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：a.反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思
9、想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.跟踪训练3已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，则z(34i).|z|1，|(34i)|1，复数在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数A的模最大，为16；圆上的点B所对应的复数B的模最小，为14，复数34iz的模的最大值和最小值分别为6和4.复数与函数的综合应用对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如zabi(a，bR)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出
10、来.例4已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求复数z.分析题目中出现了f(z)与f(z)的关系式，可由f(z)得到f(z)的另一种关系式.要求复数z，只需设zabi(a，bR)，求出a，b即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解.解设复数zabi(a，bR).f(z)|2z|z，f(z)|2z|z.又f(z)35i，|2z|z35i，|2(abi)|abi35i.即abi35i.根据复数相等的充要条件，得解得复数z105i.1.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的
11、点位于第二象限.2.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为24i.3.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .答案(1,1)解析因为|z1|，|z2|.又因|z1|z2|，所以，解得1a1.4.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为 .答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解得m9.5.
12、已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如图所示，因为|z|1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点的最大距离，则|zz1|max21.1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、选择题1.设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34
13、i，|x|5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限.2.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1).由m0，m10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量对应的复数为2i.4.已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.
