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1、双曲线离心率取值范围的解题策略求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。一、利用双曲线性质例1 设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。二、利用平面几何性质例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第一定
2、义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得：解得：。点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3 （同例2）解析：由例2可知：，点P在双曲线右支上由图1可知：，即，两式相加得：，解得：。四、利用均值不等式例4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。五、利用已知参数的范围例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离
3、心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，解得。六、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，即且，所以，即且。七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。解析：设，弦PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。八、利用非负数性质例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，由OPOQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围。
