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1、学海无涯 20132013 厦门双十中学高三数学 理 热身试卷厦门双十中学高三数学 理 热身试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5 50 0 分 分 1 已知集合 12 0 AxxBxx 则ABI等于 A 01 xx B 21 xx C 0 2 xx D 20 xx 2 等比数列 n a中 1 0a 则 13 aa 是 34 aa 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知两不共线向量 cos sin cos sin ab rr 则下列说法错误 的是 A 1ab
2、rr B 0 baba C a r 与b r 的夹角等于 D a r 与b r 在ab rr 方向上的投影相等 4 已知实数4 9m构成一个等比数列 则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为 A 30 6 B 7 C 30 6 或7 D 5 6 或 7 5 若右边的程序框图输出的S是126 则条件 可为 A 5n B 6n C 7n D 8n 6 学校组织高一年级 4 个班外出春游 每个班从指定的甲 乙 丙 丁四个景区中任选一个游览 则恰有两 个班选择了甲景区的选法共有 A 36种 B 54 种 C 72种 D 108 种 7 下列关于函数 22cos2 cos x f x x 的描述正
3、确的是 A 在 0 2 上递增 B 在 3 22 上最小值为 0 C 周期为 D 在 0 2 上递减 8 如图是某几何体的三视图 其中正视图为正方形 俯视图是腰长为 2 的 等腰直角三角形 则该几何体的体积是 A B C D 9 定义在 R 上的函数 yf x 是减函数 且函数 2 yf x 的图象关于点 2 0 成中心对称 若 s t满足 不等式组 2 0 0 f tf s f ts 则当23s 时 2st 的取值范围是 A 3 4 B 3 9 C 4 6 D 4 9 10 如图 半径为 2 的 O与直线MN相切于点P 射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM 旋 转过程中 PK交 O于
4、点Q 设POQ 为x 弓 形 PmQ的面积为 Sf x 那么 f x的图象大致是 4 2 3 8 3 8 2 3 4 3 学海无涯 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 5 5 小题 小题 每小题每小题 4 4 分 分 满分满分 2 20 0 分 分 11 复数 2i 1i a 在复平面内所对应的点在虚轴上 那么实数a 12 某高校 统计初步 课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况 具体数据如下表 为了检验主修统计 专业是否与性别有关系 根据表中的数据 得到84 4 30202723 7102013 50 2 2 所以断定主修统计专业与性别 有关系 这种判断出错的可能性最高为 13 如图
5、 圆 222 O xy 内的正弦曲线sinyx 与x轴围成的区域记为M 阴影部分 随机往圆O内投一个点A 则点A落在区域M内的概率是 14 对一块边长为 1 的正方形进行如下操作 第一 步 将它分割成 3x3 方格 接着用中心和四个角 的 5 个小正方 形 构成如图 所示的几何图形 其面积 1 5 9 S 第二步 将图 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与 第一步相同的操作 得到图 依此类推 到第 步 所得图形的面积 5 9 n n S 若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中 则 I 当 n 1 时 所得几何体的体积 V1 II 到第 n 步时 所得几何体的体积 Vn 15 已知正
6、方形ABCD的中心在原点 四个顶点都在函数 3 f xxbx 图象上 若正方形ABCD唯一确定 则实数b的值为 16 本题满分 13 分 某网站用 10 分制 调查一社区人们的幸福度 现从调查人群中随机抽取 16 名 以下茎叶图记录了他们的幸 福度分数 以小数点前的一位数字为茎 小数点后的一位数字为叶 1 指出这组数据的众数和中位数 2 若幸福度不低于 9 5 分 则称该人的幸福度为 极幸福 求从这 16 人中随机选取 3 人 至多有 1 人 是 极幸福 的概率 3 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据 若从该社区 人数很多 任选 3 人 记 表示 极 幸福 的人数 求 的分布列及
7、数学期望 17 本题满分 13 分 在ABC 中 c b a分别是角A B C的对边 且满足 A c A b sin2sin 2 I 求角C 幸福度 7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 学海无涯 N M A1 C1 B A B1 C II 求函数ABBAysinsin32sinsin3 22 的单调减区间和取值范围 18 本题满分 13 分 如图 已知三棱柱 ABC A1B1C1 侧面 BCC1B1 底面 ABC I 若 M N 分别为 AB A1C 的中点 求证 MN 平面 BCC1B1 II 若三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长均为 2 侧棱 BB
8、1与底面 ABC 所成 的角为 60 问在线段 1 CC上是否存在一点 P 使得平面 ABP 与底面 ABC 的所成角为 0 60 若存在 求 BP 的长度 若不存在 说明理由 20 本小题满分 13 分 已知函数 1 1 Nnxxxf n 在点 0 1 处的切线 L 为 xgy 判断函数 xf在 1 x上的单调性 求证 xgxf 对任意的 1 x都成立 求证 已知 Nnm mmm m nS 21 求证 1 1 m m nmS 21 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知 1 ab yf xA cd 的图象 如图 经作用后变换为曲线 C 如图 2 I 求矩阵 A II 若矩阵
9、22 11 B 求AB的逆矩阵 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知极点 O 与原点重合 极轴与 x 轴的正半轴重合 点 A B 的极坐标分别为 2 2 2 4 曲线 C 的参数方程为 2 sin 1cos x y 为参数 求AOB 的面积 若直线 AB 与曲线 C 的交点 学海无涯 20132013 厦门双十中学高三数学 理 热身试参考答案厦门双十中学高三数学 理 热身试参考答案 一 选择题 二 填空题 二 填空题 2 2 0 050 05 3 4 11 33 n 2 2 16 解 众数 8 6 中位数 8 75 2 分 2 设 i A表示所取 3 人中有i个人是 极
10、幸福 至多有 1 人是 极幸福 记为事件A 则 分 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 D D B B C C C C B B B B D D A A D D D D 学海无涯 z y x O N M A1 C1 B A B1 C 17 I 解 22 sin2sin2sincossincos bcbcb c AAAAAA 2 分 处理 1 余弦定理 2 2220 222 2 90 cos bb c ccbacC Abca 4 分 处理 2 正弦定理 sin sinsinsincossin sincoscossin0 cos B CBCACACACA
11、 A 又 0 sin0cos0 90ACC II 2222 3sinsin2 3sinsin3sincos2 3cossinyABBAAAAA 6 分 2 1 2sin2 3cossinAAA 1 1 cos23sin2AA 2sin 2 2 6 A 8 分 又 5 0 2 2666 AA 值域为 1 4 10 分 令 35 222 26236 kAkkAk 12 分 又 0 2 A y 在 3 2 单调递减 13 分 18 I 思路点拨 1 连接 1 AC 证明 1 MNAC 4 分 思路点拨 2 取 BC 中点 1 M 取 1 CC中点 1 N 证明 11 MM N N是平行四边形 思路点
12、拨 3 取 AC 中点 K 连接 MK NK 证明平面 MKN 平面 BCC1B1 II 过 1 B作 BC 的垂线 垂足为 O Q侧面 BCC1B1 底面 ABC 所以 1 BO 平面 ABC 6 分 所以 1 B BC 就是侧棱 BB1与底面 ABC 所成的角 即 1 B BC 60 7 分 又 AB AC 所以BCAO 如图 以 O 为原点 BC 所在直线为 X 轴 OA 为 y 轴建立空间直角坐标系 则 1 1 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 3 BCAB 8 分 111 2 0 3 BBCCC uuu ruuu u r Q 9 分 解 1 1 1 3 0 3 0 3 BABC
13、 uu u ruuu u r 设平面 1 ABC的法向量为 nx y z r 则 1 030 0330 BA nxy BC nxz uu u r r uuu u r r 令3x 则 y 1 x 3 所以 3 1 3 n r 11 分 小区间上的单调性还可以用 五点作图 小区间上的值域问题用 复合函数 的思想 注意端点 学海无涯 又平面 ABC 的法向量为 0 0 1 设平面使得平面 1 ABC与底面 ABC 的所成角为 所以 0 12 31 cos cos cos60 213 n n u r u u r 又cosyx 在 0 2 上单调递减 所以在 1 CC上不存在点 P 使得平面 ABP 与
14、底面 ABC 的所成角为 0 60 13 分 解 2 设 P 在 1 CC上 所以 1 0 1 CPCC uuu ruuu u r 20 解 1 1 1 0 n fxnxxfx Q 所以 f x在 1 上单调递增 2 分 0 fn 所以 L 1 0 1yn xg xnx 4 分 要证 1 1 1 n xnx xnN 有三条可能的路径 1 把 n 当成变量 x 当成常数 1 2 二项展开式 你试一试 看看行不行 数学归纳法 你也试一试 2 把 n 当成常数 把 x 当成变量 构造函数 1 1 n h xxnx 11 1 1 1 nn h xn xnn x 5 分 学海无涯 n 1 时 0h x
15、满足题意 6 分 2n 时 由 知 1 1 nyx 在 1 上单调递增 11 0 1 1 0 1 nn h xx 0 x 所以 h x在 1 0 上单调递减 0 上单调递增 所以 0 0h xh 即 xgxf 对任意的 1 x都成立 8 分 要证 1 1 12 mmmm nmn 只需证 111111 10 21 1 1 12 mmmmmmmmm nnmn 只需证 11 1 1 mmm nnmn 只需证 1 1 1 1 m nnm n 只需证 1 1 1 1 m nmn n 又 1 1 1 1 1 11 m mm nnnmnm nnn 成立 所以 1 1 12 mmmm nmn 成立 14 分
16、证 2 数学归纳法 21 1 依题意可知 1 222 0 000 abaa cd cc 1 0 22444 0 0111 bbb d dd 所以 1 0 2 01 A 3 分 解 2 依题意可知 A 对应的变换为伸缩变换 1 2 xx yy 所以 1 0 2 01 A 1 22110 2 1111 01 AB 4 分 1 1 1 2AB 1 AB 1 11 22 11 22 AB 7 分 构造左 n 项右 n 项 学海无涯 N M A1 C1 B A B1 C 2 解 0 1 22 2sin1352 2 AOB S 2 分 在直角坐标系中 2 0 2 2 AB 所以 AB 22xy 3 分 直线 C 2 2 1 1 1 2 yx xy 5 分 联立得 2 220 xx 解得 117 4 x 舍负 得交点 117 717 48 7 分 2013 厦门双十中学数学 理 高三热身卷
