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1、生成函数及其应用第11卷第19期2011年7月16711815(2011,194547-04科学技术与工程ScienceTechnologyandEngineeringVo1.11No.19July20112011Sci.Tech.Engng.数学生成函数及其应用陈军科(安康职业技术学院信息传媒系,安康725000)摘要研究了递推关系,递归数列及Bell级数的生成函数,使用生成函数的方法和计算技巧并给出了递推公式,为使用生成函数提供了依据.关键词递推关系递归数列Bell级数生成函数应用中图法分类号O157;文献标志码A生成函数即母函数,是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具.最早提出母
2、函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的概率的分析理论中明确提出.生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种,其中普通型用的比较多.生成函数的应用简单来说在于研究未知(通项)数列规律,用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项,生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一.另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计,分析上,运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进.生成函数作为一类特殊函数在函数论,组合数学,解析数论,数学物理方程等学科的研究领域中,一些恒等式的证明结果及证明方法极为重要uJ.本文以生成函数为工具,讨论了生成函数方法的广泛应用.设口(n=0
3、,1,2,3,)是一待定数列,若能作出一个函数),使得厂()的展开式恰好是厂()=a.+aI+2011年3月11日收到,3月18日修改陕西省自然科学基金(2009JQ1009)资助作者简介:陈军科(1966一),男,陕西凤翔人,副教授,研究方向:解析函数.a2x+口+,则称函数f()是数列口(儿=0,1,2,3,)的生成函数,也称母函数.相应地数列a称为)的生成数列.它是形式上的考虑,而不考虑实际上的数值,而其中幂级数则是无穷项的多项式.一般的长相如下:)=an.而我们给定数列口n=0,=UEClat出的)=an则称为数列的生成n=U函数.1幂级数作为生成函数最初应用幂级数作为生成函数的是欧拉
4、,其后拉普拉斯曾广泛采用此方法.该方法主要是通过多项式或幂级数相乘方程中合并同类项,从而得到相关的结论.着名的Bernoulli数B和Bernoulli多项式B()k阶Bernoulli多项式”()分别是由下列n.函数展开式中按的系数定义的.,正!(t)=亡的幂级数展开式是4548科学技术与工程11卷)=Btn(1)式(1)中B为第n个Bernoulli数,由级数逐项求导理论得:B=()l:.B()一B(一)=可得B.=1;=一,=,B=一1,B=1,;2+1=0,(1).已经证明得:B=c,B=0,n2.k=0k=0Bernoulli多项式B()被定义为:text=驯tn(n=0,1,2,)
5、(2)式(2)中=1;B=一号,曰=,=一,B=1,;日2=0,(1).2以递归数列作为生成函数这种把数列放人多项式的系数中,观察多项式的性质而得到数列或者得到系数的新关系的方法,在组合学,机率甚至是编码中有非常重要且广泛的使用.以二阶(常系数线性齐次)递归数列作为生成函数:a+p口+qa一2=0,g0;特征多项式:K(x)=+g.则如我们所说的,令数列的生成函数G(x)=口0+a,1x+O,2X+t23.+.则我们会有下面这个好用的算式:G(x)=n0+a1+02+口3+C$44(3)pxG(x)=pa0戈+pa1+pa2+pa3(4)qx2G(x)=qa02+qal+qa24+(5)式(3
6、),式(4)及式(5)相加得(1+)c(x)=o0+(01+pa0)+(02+pa1+q2)+(口3+p2+qa1)X.于是(1+p+qx)G(x)=口o+(n1+pao).所=菁.(I+)令分母为D(x)=1+qx;.:二是特征多项式()的两根,则D()=1+qx=(1一F1)(1一F2X).则我们可以将G()做一个分式的改写(暂时假设二根相异).G=+;其中A,B是某两个常数.了一=1+于是G(x)=A(1+)+B(1+F2X+)=Ak+Br.所以有G()=ak=(+Brk2)x;rr2.比较系数,得o=Ar+Br;,其中r,r:为特征多项式的两根.例如:满足递推关系式F一,一F一=0,及
7、初始条件Fo=0,F=1费波纳契Fibonacci数列F,序列满足递推关系式的F特征多项式:K(x)=一一1=0,其根为.:L,:L.璃Fn=A(代入初始条件得:rFo=A?1+B?1:0IA?_10解得.A:1,B:-1.5.洲一(】o19期陈军科:生成函数及其应用4549类似地也可得到Catalan序列的通项公式:c(n)=l(2it-l2),递推关系为:c=C(n=1,2,3,).Catalan序列的发生函数c=c(it)z,满足环C的特征方程:二次方程c一C+z=O.上述方程的系数1,一1,z均为环C的收敛元,故其解也收敛,因而特征方程就是关于c()的普通方程:c()一c(z)+2=0
8、,其根为:c1():1,c2():下1-/1-4z.注意到c(O)=c(o)=0;我们有c():1-/1一-4z.即:一号=G(IZI<).其中C为卡塔兰数.3以Bell级数和函数为生成函数Bell级数这个概念是由美国数学家Bell1提出的,根据其发生函数的不同又可分为指数型Bell多项式与普通型Bell级数E3.而今,Bell级数已经成为组合数学中的重要内容,在微分方程,随机过程和理论物理中有着重要应用.设n)是一个数论函数,P是一个素数,级数f(p)称为数论函数n)模P的Bell级数,记n0()=f(p).文献1中给出了普通型Bell多项式的定义:普通型Bell多项式是无限多变元,戈
9、.,.由双重形式级数展开式定义的多项式台(.,).观察式(6)两边者的系数,有()=台()t.利用Bell级数和函数作为生成函数,可以得到数论中一些重要的恒等式.例如,设对于任意正整数n,设D(n)表示的满足方程=ItlIt2及(It1,It2)=1的数,则D()=1.很明显(It):2,(n)是乘积函数,()还有许多有趣的算术性质.其中(It)是任意正整数It的不同的素数因子,即:c,=羔,It.=pl;Otp2p,.证明D(n)=(d),其中(n)是Mobius函数.证明:令n=paIpt2p3p,指n的标准的素因子分解,由于D(n)可积性及D(p)=2,因此,从(技术与工程TheMode
10、lofPartialLeastSquaresRegressionafterOutlierDetectionWAYan(ShaoguanUniversityinGuangdong,Shaoguan512000,P.R.China)AbstractPartialleastsquaresregressionisastatisticalmethodwhichisbasedonasetofdependentvariablestopredicttheindependentvariables.However,becauseofvariousreasons,thesamplepointshavesome0ut
11、liersthathavegreatdeviationinmanycases.Themodelbasedonthesamplesthathaveoutliershasagreatdeviati0nt0theactualsituation.Basedonthisproblem,thesamplepointsisselectedbyconstructingstatistics.First,itremovestheoutlierstohavearelativelyreasonablesamplespace.Thenitbuildsamodelbypartialleastsquaresregressi
12、onontheobtainedsamplespace.Amodelismadeoftoillustratethatafterstrikingtheoutliersinthesamplespacetheprecisionoftheestablishedmodelhasgreatlyimproved.KeywordsstatisticsoutlierdetectionpartialleastsquaresregressionMATLAB;pp,(上接第4549页)2ComtetL.Advancedcombinatorics.Theartoffiniteandinfiniteexpan-quence
13、sofbinomialtype.DiscreteAppliedMathematics,2008;156sions.Boston,ReidelPub1.Company,19743040-30453谭明术,王天明.具有二项式型多项式下三角矩阵的性质.数学研5WangWeiping,WangTianming.MatricesrelatedtotheBellp0lynoimi究与评论,2005;25(1):285288als.LinearAlgebreAndItsApplications,2007:422:l39一l544YangShengliang.JordancanonicalformofPasc
14、a1.typematricesviaSCGeneratingFunctionandApplicationCHENJun.ke(InformationMediaDepartment,AnkangVocationalandTechnicalCollege,Ankang725000,P.R.China)AbstractTherecuencerelations,recursivesequenceandBellseriesgeneratingfunctionsarestudied.Thegeneratingfunctionmethodandcalculationskillsareusedandtheformulaisgiven.Thebasisforthecomputerproblemsolvingisprovided.Keywordsrecurrencerelations(上接第4555页)recurrentsequenceBellseriesgeneratingfunction)p;p)TheConnectivityofTopologicalGroupYANGPeiliang,LIUWen.jun(DepartmentofMathematicsandCompute
