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1、第12课时空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.三楼屋顶有一蜂窝,住户报119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有20米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米,蜂巢能被击落吗?问题1:空间直角坐标系(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴
2、的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=45或135,yOz=90.(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标.(4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让
3、右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2:空间两点间的距离公式(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,特别地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|=x2+y2+z2.(2)说明:注意此公式与两点的先后顺序无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.问题3:情境中要知蜂巢能否被击落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以
4、通过立体几何的知识可以解决,但我们想换一种思维即采用代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离,我们就可以解决上面的这个实际应用题.问题4:如果|OP|是定长r,那么方程x2+y2+z2=r2表示的图形是以原点为圆心,以r为半径的球面.1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是().A.在y轴上B.在xOy平面上C.在xOz平面上D.在yOz平面上2.点A是点P(1,2,3)在平面yOz内的射影,则|OA|等于().A.14B.13C.23D.113.在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是.4.在xOy平面内的直线x+y=1
5、上确定一点M,使点M到点N(6,5,1)的距离最小.确定空间内点的坐标如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标.空间中两点之间的距离如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DEAC,垂足为E,求B1E的长.正确建立空间直角坐标系如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,G分别是BB,DB,DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1
6、的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,BAD=90,ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PDA=30,AEPD于E.试建立适当的坐标系,求出各点的坐标.1.点M(1,-2,2)到原点的距离是().A.9B.3C.1D.52.点P(2,3,4)到x轴的距离是().A.13B.2C.5D.293.已知正方体不在同一表面上的两顶点(-1,2,-1)、(3,-2,3),则正方体的棱长为.4.求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.已知空间直角坐标系Oxyz中,点A(
7、1,1,1),平面过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面内的任意一点,求点P的坐标满足的条件.考题变式(我来改编):第12课时空间直角坐标系知识体系梳理问题1:(1)原点坐标轴坐标平面xOyyOzzOx(2)45或135(3)一一对应M(x,y,z)横坐标纵坐标竖坐标(4)右xyz问题2:(1)(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2x2+y2+z2问题3:距离问题4:以原点为圆心,以r为半径的球面基础学习交流1.C点P(2,0,3)在xOz平面上.故选C.2.B点P在yOz内射影为A(0,2,3),|OA|=22+32=13.故选B.3.(12,3,0)由中点坐标公
8、式得AB的中点坐标为(3-22,4+22,0),即(12,3,0).4.解:由已知,可设M(x,1-x,0),则|MN|=(x-6)2+(1-x-5)2+(0-1)2=2(x-1)2+5151.当x=1,y=0时,|MN|min=51.点M坐标为(1,0,0).重点难点探究探究一:【解析】 如图,以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.长方体的棱长AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4,显然D(0,0,0),A在x轴上,A(3,0,0);C在y轴上,C(0,5,0);D1在z轴上,D1(0,0,4);B在xOy平面内,B(3,5,0
9、);A1在xOz平面内,A1(3,0,4);C1在yOz平面内,C1(0,5,4).由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0),B1的横坐标为3,纵坐标为5,B1在z轴上的射影为D1(0,0,4),B1的竖坐标为4,B1(3,5,4).【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.探究二:【解析】 如图,以点D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴
10、、z轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点E的坐标为(x,y,0),在坐标平面xOy内,直线AC的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0,DEAC,直线DE的方程为x-2y=0.由2x+y-4=0,x-2y=0,得x=85,y=45,E(85,45,0).|B1E|=(85-2)2+(45-4)2+(0-2)2=6105,即B1E的长为6105.【小结】通过建立空间直角坐标系,将“数”与“形”结合起来;本题求点E的横坐标、纵坐标还可以在RtACD中利用直角三角形的有关知识求解.探究三:【解析】 如图(1),分别以AB,AC,A
11、A1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,显然A(0,0,0),又各棱长均为1,且B、C、A1均在坐标轴上, B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1,C1分别在xOz平面和yOz平面内,B1(1,0,1),C1(0,1,1),各点坐标为A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1).问题上面建立的空间直角坐标系中,BAC=90吗?结论因为三棱柱各棱长均为1,所以ABC为正三角形,即BAC=60,即错解建立的坐标系中xOy90.故本题做错的原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系中三个坐标轴两两垂直的本质.
12、建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴.如果没有满足条件的直线,可以让某一条坐标轴“悬空”.于是,正确解答如下:取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BOAC,分别以OB, OC, OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,三棱柱各棱长均为1, OA=OC=O1C1=O1A1=12,OB=32,A、B、C均在坐标轴上,A(0,-12,0),B(32,0,0),C(0,12,0),点A1(0,-12,1),C1(0,12,1),点B1在xOy面内射影为B,且BB1=1.B1(32,0,1),各点的坐标为A(0,-12,0),B(32,0,0),C(0,12,0),A1(0,-
13、12,1),B1(32,0,1),C1(0,12,1).【小结】求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系,建系时要注意坐标轴必须相交于同一点且两两垂直,并符合右手法则.思维拓展应用应用一:E点在xDy平面上的射影为B(1,1,0),竖坐标为12,E(1,1,12).F点在xDy平面上的射影为BD的中点G(12,12,0),竖坐标为1,F(12,12,1).应用二:以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).取A1C1中点O,由于M为BD1的
14、中点,所以M(a2,a2,a2),O(a2,a2,a).因为|A1N|=3|NC1|,所以N为A1C1的四等分点,从而N为OC1的中点,故N(a4,3a4,a).根据空间两点间距离公式,得|MN|=(a2-a4)2+(a2-3a4)2+(a2-a)2=64a.应用三:如图,BAD=90,PA底面ABCD,可以以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则点A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).PA底面ABCD,PAAD.PDA=30,PA=ADtan 30=233a,P(0,0,233a).面PAD面ABCD,过点E作EFAD交AD于点F,则点F为点E在底面ABCD内的射影,在RtAED中,EDA=30,AE=12AD=a,由AE2=AF AD,得AF=AE2AD=a2,EF2=AE2-AF2=3a24,即EF=3a2,E(0,a2,3a2).基础智能检测1.Bd=(1-0)2+(-2-0)2+(2-0)2=3.2.C点P(2,3,4)在
