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1、第1讲 导数的概念与运算1.了解导数产生的数学背景以及导数的定义2.能够熟练掌握常见函数的导数以及导数的四则运算法则.3.掌握导数的几何意义以及曲线的切线方程.1.导数的定义以及导数的等价变形形式.2.导数的四则运算法则.3.导数在研究曲线切线方程中的应用.变化率与导数1在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是.随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小 2高台跳水运动员当高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为. 3函数平均变化率的定义 已知函数yf(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数值从f(x1)变化到f(
2、x2)，则当x1x2时，比值为函数f(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，用x1x 代替x2；类似地，yf(x2)f(x1)，于是平均变化率可以表示为. 4.导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 .我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .例1质点运动规律为s(t)t23，则从3到3t的平均速度为()A6tB6tC3tD9t【答案】A【解析】平均速度6t.故应选A.练习1.已知函数f(x)2x24的图象上两点A，B，且xA1，xB1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A4B4x C4.2D4.02 【答案】C【解
3、析】4.2，故应选C.练习2. 已知函数y(x21)，则函数从x0到x0x的平均变化率是_【答案】x0x【解析】x0x.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；计算平均变化率：. 例2.过曲线f(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率【答案】3.31【解析】yf(1x)f(1)(1x)31(x)33(x)23x，割线PQ的斜率k(x)23x3.设x0.1时割线的斜率为k1，则k10.1230.133.31.练习1.已知物体的运动方程是S4t216t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t2s时的瞬时速度
4、为()A3m/sB2m/sC1m/sD0m/s 【答案】D【解析】S4(2t)216(2t)4221624t2，4t，v (4t)0，物体在t2s时的瞬时速度为0m/s.练习2. 设函数f(x)可导，则 等于()Af (1)B3f (1)Cf (1)Df (3)【答案】C【解析】原式 f (1)利用定义求导数的时候，注意导数f (x0)的不同表达方式：y|xx0f (x0) .导数的公式1.常见基本函数的导数(1)若f(x)xn(nN*)，则f (x)nxn1 . (2)若f(x)，则f (x).(3)若f(x)x，则f (x)x1.(4)若f(x)sinx，则f (x)cosx.(5)若f(
5、x)cosx，则f (x)sinx.(6)若f(x)ax，则f (x)axlna(a0) 若f(x)ex，则f (x)ex (7)若f(x)logax，则f (x)(a0，且a1) 若f(x)lnx，则f (x)2.导数的计算公式（1）求函数的改变量;（2）求平均变化率;（3）取极限，得导数 3.导数的简单应用（1）几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数，就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率，即kf (x0) .且曲线在点（）处的切线方程为（2）物理意义：物体的运动方程ss(t)在点t0处的导数s(t0)，就是物体在t0时刻的瞬时速度.例3.满足的一个函数是A. B. C. D. 【答案
6、】C【解析】显然只有 C. 满足 练习1. 设f(x)=(2x33)(x25)，则f(x)等于A.10x430x26xB.12x3C.6x430x2D.4x46x【答案】A【解析】由f(x)=2x510x33x2+15,f(x)=10x430x26x.练习2.已知函数f(x)在x=2处的导数为4,则f(x)的解析式可能为A.f(x)=x24B.f(x)=2xC.f(x)=x3D.f(x)=x1【答案】A【解析】本题考查多项式函数的导数及导数的运算法则.将选项分别求导,A正确.掌握基本函数的导数公式是计算函数导数的前提，建议将函数进行分类记忆，比如，指数函数，幂函数，对数函数，三角函数等.例4.
7、曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为()Ay2xBy2x1Cy2x1Dy2x 【答案】B【解析】2xx， 2x，y|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.练习1yax21的图象与直线yx相切，则a()A BC D1【答案】B【解析】y2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax01，x0.切点在直线yx上，y0 .代入yax21得1，a，故选B.练习2若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af (x0)0Cf (x0)0Df (x0)不存在【答案】B【解析】由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f (x0)
8、3.故选B.在熟练掌握基本函数的导函数的基础上，理解导函数的几何意义，注意到切线方程的斜率就是函数在该点处的导函数的值.例5.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s=t2,则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为A.2B.1C.D.【答案】C【解析】解法一:s=t2,s=t.s|t=2=2=.解法二:也可运用匀变速直线的速度公式来求解.t2=at2,a=.v(t)=at=t,v|t=2=2=.练习1.曲线y=x33x上切线平行于x轴的点有A.(0,0),(1,3)B.(1,2),(1,2)C.(1,2),(1,2)D.(1,3)(1,3)【答案】B【解析】y
9、=3x23,令3x23=0,得x=1.分别代入曲线方程，得或练习2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ ）A1B3C7D13【答案】B【解析】计算即.熟练掌握函数导数的几何意义，即曲线在某点处的切线的斜率；物理意义，即变量在某时刻的瞬时变化率.导数的运算律(1) 若两个函数和的导数分别是和， 则即两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）(2) 若两个函数和的导数分别是和，则特别地，当时，有 例6. 已知函数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以， ；故选C.练习1.若，则函数的导函数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故
10、选D.练习2下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A选项中， A选项错误；B选项中， B正确；C选项中，C选项错误；D选项中， D选项错误；选B.掌握函数乘积的导数，以及商的导数，注意将函数适当拆分，再利用四则运算法则.例7.已知函数的导函数为，且满足，则( )A. e B. 1 C. 1 D. e【答案】C【解析】取1练习1. 函数在区间上的平均变化率为_【答案】2【解析】函数在区间上的平均变化率为： 练习2.若f(x)x3，f (x0)3，则x0的值为_【答案】 【解析】,.熟练掌握函数的求导法则，以及导函数的几何意义，分清函数中变量与常量.1.平均变化率的意义是学习导数的基础；2.常见函数的导数运算以及导数公式；3.熟练掌握导数的四则运算法则；4.通过函数的导数求函数在某点处的切线方程.
