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1、第5讲 双曲线及其方程1.学生掌握双曲线的定义及标准方程2.能够掌握并运用双曲线的性质3.熟练掌握直线与双曲线的位置关系1.双曲线的方程及性质是重点2.直线与双曲线的位置关系是难点双曲线的定义一、1.第一定义：当时,的轨迹为双曲线; 当.时,的轨迹不存在; 当时,的轨迹为以为端点的两条射线;例1.已知双曲线两个焦点的坐标为和，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于6，则其标准方程 【答案】【解析】双曲线的焦点在y轴设它的标准方程为()，,双曲线方程为.练习1.设点P是双曲线上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|，则_.【答案】或4.【解析】由双曲线的标准方程得于是.(1)若点P在双
2、曲线的左支上，则，;(2)若点P在双曲线的右支，则|.对双曲线的定义有个初步的了解，并且熟练应用.例2.已知A(0，5),B(0，-5),，当a=3或5时，P的轨迹（ ）A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条直线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线【答案】D【解析】当时，此时P的轨迹为双曲线的一支,当时，此时P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线.练习1.已知两定点,，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，动点P的轨迹是双曲线，故A正确.要牢牢区分双曲线的概念，灵活运用，并且掌握.双曲线的标准方程及其性
3、质标准方程性 质焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率渐近线a,b,c的关系例3.双曲线的焦距是实轴长的倍，且一个顶点的坐标，则双曲线的标准方程为 【答案】【解析】由双曲线的一个该双曲线的焦点坐标在x轴上，则，该双曲线方程.练习1.双曲线的实轴与虚轴之和等于焦距的倍，且一个顶点坐标为，则双曲线方程 【答案】【解析】由题意可知且又，联立得，顶点在y轴上，方程.实轴、虚轴、焦距经常出一些小的题型.例4.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以.练习1.已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭
4、圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. B. C2 D3【答案】C【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a1，c2，所以双曲线的离心率为.练习2.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为实轴长的2倍，则C的离心率为 【答案】【解析】以焦点在x轴上分析：设双曲线的标准方程为，焦点将代入，可得，.双曲线的离心率问题在考试中是比较重要的一部分，要灵活运用.例5.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；【答案】或【解析】设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或.练习1.
5、求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程 .【答案】【解析】渐近线方程为设双曲线方程为将(3，2)代入求得3，所以双曲线方程为.练习2.双曲线的焦点到渐近线的距离 【答案】【解析】设右焦点为，令，得其中一条渐近线方程为，点到直线的距离为.要掌握焦点在x轴和y轴上的渐近线方程.直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系的判断设直线，双曲线联立解得:；若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，直线与双曲线相交，有两个交点；直线与双曲线相切，有一个交点；直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不
6、充分条件.二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式；设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去得到，设，则弦长公式为：；若联立消去得的一元二次方程：，设，则.3、 中点弦点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。例6.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.【答案】和【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方
7、程为则， ，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解；所以不满足条件；练习1.已知双曲线方程为，过的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】数形结合知，过点有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点练习2.已知双曲线的右焦点为F，若过F的直线与双曲线的右支且有一个交点，则直线斜率的取值范围 【答案】【解析】由题意知，双曲线的两条渐近线方程为，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，.1.注意如何判断直线与双曲线的位置关系.2.会利用
8、数形结合的解题方法处理双曲线问题.例7.求直线被双曲线截得的弦长；【答案】【解析】由和联立消得得设方程的解为，,则有得.练习1.已知双曲线，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问并求弦AB的长 【答案】6【解析】又直线L过点，且斜率，L的方程为由与联立消去y并整理得设，=重点掌握直线与位置关系和弦长公式，经常配合韦达定理进行出题.例8.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程.【答案】【解析】设直线与椭圆的交点为、，为的中点，又、两点在椭圆上，则，,两式相减得，于是即，故所求直线的方程为，即.练习1.求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.【答案】【解析】设弦的两个端点坐标为、，弦中点为，则两式作差得：，即练习2.已知直线与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 【答案】【解析】由得，从而，因此，线段AB的中点的坐标为中点弦问题在考试经常出现，要掌握其做题方法.1.双曲线的定义及标准方程.2.双曲线的几何性质及其应用.3.直线与双曲线的位置关系.
