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1、演练方阵第4讲 导数的分类讨论一次型导数的分类讨论类型一:形如考点说明：令，解的，讨论与定义域边界值的关系.【易】1. 已知函数f(x)= lnx ，当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性.【答案】f(x)在(0,)上是单调递增函数.【解析】由题得f(x)的定义域为(0,)，且f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是单调递增函数.【易】2.已知函数，求函数的单调区间和极值.【答案】当时，在上增,无极值；当时，在上减，在上增,有极小值，无极大值.【解析】.当时，在上递增,无极值；当时，在上减，在上增,有极小值，无极大值.【中】3. 已知函数，求函数的单调区间.【答案】当时，在上
2、递减；函数在上递增，在上递减.【解析】.当时，在上递减；当时，令，解得，所以函数在上递增，在上递减.【难】4.已知函数，求函数的单调性.【答案】，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.【解析】由得，若，则当时，函数单调递减，则当时，函数单调递增；若，则当时，函数单调递增，则当时，函数单调递减.综上可得：，函数在单调递减，函数在单调递增；，函数在单调递增，函数在单调递减.类型二:形如“”考点说明：讨论根与定义域边界值的关系.【易】1. 已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所
3、以当时，在上恒成立，所以的单调递减区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【易】2.已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【易】3.已知函数，讨论的单调性.【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区
4、间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，所以的单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【中】4.已知函数，讨论函数在区间的单调区间.【答案】，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.【解析】函数的定义域为，.当时，在上，所以函数在单调递减；当时，在上，函数在单调递减
5、，在上，所以函数在单调递增；当时，在上，函数在单调递增；综上可得：，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在单调递增.【难】5. 已知函数，试讨论在定义域内的单调性.【答案】当时，增区间为，减区间为；当0时，增区间为；当时，增区间为，减区间为【解析】函数的定义域为，当时，令，解得，当，当，所以函数的增区间为，减区间为；当0时，恒成立，所以增区间为；当时，所以增区间为，减区间为.二次型导数的分类讨论类型一:形如“”考点说明：注意根的个数、根与根的大小及根与边界值的关系.【易】1. 已知函数，讨论的单调性.【答案】若在单调增加；若，单调增加，在单调减少.【解析】若单调增加；若
6、且当所以单调增加，在单调减少.【易】2. 设函数（），其中，当时，求函数的极大值和极小值.【答案】，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.【解析】令，解得或由于，以下分两种情况讨论:（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且综上可得：，函数在处取得极小值，在处取得极大值；，函数在处取得极小值，在处取得极大值.【易】3. 已知函数，其中，讨论函数的单调性.【答案】，在，内是增函数，在，内是减函数；，在，上内是增函数.【解析】由题意可
7、知函数定义域为，当时，显然(),这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数【易】4.已知函数，讨论函数的单调性.【答案】当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.【解析】定义域为，令，得或，则，且，当时，此时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，上单调递增.【易】5.已知，函数，(的图象连续)，求的单调区间.【答案】的单调增区间是，单调减区间是.【解析】，令，则当变化时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是【易】6.
8、已知函数f(x)ax2bxlnx，a，bR当b2a1时，讨论函数f(x)的单调性.【答案】当a0时，x(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时， f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时， f(x)在区间 (0，)上单调递增；当a时， f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.【解析】因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，从而f (x)2ax(2a1)，x0当a0时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，
9、在区间(1，)上单调递减当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时，因为f (x)0（当且仅当x1时取等号），所以f(x)在区间(0，)上单调递增；当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.综上，当a0时，x(0，1)时， f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当0a时， f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减；当a时， f(x)在区间 (0，)
10、上单调递增；当a时， f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减.【中】7.设函数，其中，求函数的单调区间及极值.【答案】在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.【解析】，令，得到，因为，当x变化时，的变化情况如下表：+00+极小值极大值在和内减函数，在内增函数.函数在处取得极大值，且=；函数在处取得极小值，且=.【中】8.已知函数，其中，求的单调区间.【答案】当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.【解析】由题意可得：. 当时，.故的单调增区间是；单调减区间是
11、.当时，令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和；当时，的单调减区间是；当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.【中】9.设函数，讨论函数在定义域内的单调性.【答案】当时，增区间为，减区间为，当时，减区间为当时，增区间为，减区间为，.【解析】由题意可知函数定义域为，令，解得，当时，所以函数增区间为，减区间为，；当时，在恒成立，所以减区间为；当时，所以函数增区间为，减区间为，.【中】10.已知函数，讨论函
12、数的单调区间.【答案】，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.【解析】因为的定义域是，.当时，列表增减增在，是增函数；在是减函数.当时，在是增函数.当时，列表增减增在,是增函数；在是减函数.综上：，在，是增函数，在是减函数；，在是增函数；，在,是增函数，在是减函数.【难】11.已知函数，求函数在上的最大值【答案】当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是.【解析】 ， x， ，在上单调递增；在上单调递减，当时， 在单调递增，； 当，即时，在单调递增，在单调递减，；当，即时，在单调递减， 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时
13、，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是【难】12.已知函数，斜率为的直线与相切于点，当实数时，讨论的极值点.【答案】当时，的极小值点为，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.【解析】=得：.若即，+-+极大值极小值此时的极小值点为，极大值点；若即，则， 在上单调递增，无极值点.若即，+-+极大值极小值此时的极大值点为，极小值点.综上可得：当时，的极小值点为，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点.【难】13.已知函数=ln(1+)-+(0)，求的单调区间.【答案】当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.【解析】，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，故得单调递增区间是；当时，得，.所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.综上可得：当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，得单调递增区间是
