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1、 第6讲 二倍角公式1. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式及其推导2. 灵活运用两角和与差的正弦、余弦和正切进行求值、化简和证明3.掌握半角公式及其推导4.灵活运用半角公式进行求值、化简和证明5.掌握降幂升角公式的推导和应用6.了解积化和差与和差化积公式1.掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式及其推导是重点2.灵活运用两角和与差的正弦、余弦和正切进行求值、化简和证明是重点也是难点3.掌握半角公式及其推导是重点4.灵活运用半角公式进行求值、化简和证明是重点也是难点5.掌握降幂升角的推导和应用是重点6.了解积化和差与和差化积公式是难点二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、 正弦二倍角公式推
2、导，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、 余弦二倍角公式的推导，由角的任意性可将上式中的用替换：,又，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、 正切二倍角公式的推导，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作. 二倍角公式的注意事项：1、 在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立. 2、 二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等. 例如：. 3、 在一般情况下，如. 当且仅当时，才成立. 同样，一般情况下，. 例1求下列各式的值（1） ；
3、（2） ；（3） . 【答案】C【解析】（1）. （2）. （3）.练习1=（ ）A B C D【答案】B【解析】，.练习2求下列各式的值（） ；（） .【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）.（2）原式.利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值的思路是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式例2化简等于()A2cos5 B2cos5 C2sin5 D2sin5【答案】C【解析】(sin40cos40)2(sin40cos40)2sin(4045)2sin5.练习1()Atan Btan2 C1 D【答案】B【解析】原式tan2.练习2化简：(0)【答案】co
4、s【解析】0，0，原式sin2cos2cos.利用二倍角公式进行三角恒等式的化简应该遵循如下原则：能求出值的应求出值.尽量使三角函数种类最少.尽量使项数最少.弦切互化，异名化同名，异角化同角例3已知，则=（ ）A B C D【答案】A【解析】两边同时平方得：，练习1已知为第二象限角，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，又为第二象限角，. 练习2已知，则（ ）A B C D【答案】B【解析】，又，所以，故选B.二倍角公式的给值求值运算是考查重点，解题过程中注意将二倍角公式的正向运算和逆向运算相结合，当题干中出现“”时，注意对原式进行平方，再结合二倍角公式求三角函数值二倍角公式变型应用（半角
5、公式、降幂升角公式）一 、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得2、余弦半角公式由二倍角公式得3、正切半角公式 由正弦半角公式和余弦半角公式得，综上：半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式其特点是用表示、和可以将半角公式看作倍角公式的变形3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号二、降幂升角公式及其推导1、升角公式由得2、降幂
6、升角公式由得；由得例1若，且，则等于()A B C D【答案】A【解析】 ，又，sin练习1若，sin2，则sin()A B C D【答案】D【解析】本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式由可得，cos2，sin练习2若cos，是第三象限的角，则()A B C2 D2【答案】A【解析】解法一：cos，是第三象限角，sin，tan3，解法二：是第三象限角，cos，sin半角公式是高中数学非常重要的一个公式，它应用广泛，变化灵活，是各类考试经常考查的重点与热点之一，在应用半角公式解题时应注意公式中根号前面正负号的取舍例2函数的最小正周期是()A B C D2【答案】D【解析】ycos2，函数ycos
7、2的最小正周期T2练习1函数ycos2(x)，()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【答案】D【解析】ycos2(x)cos(2x)sin2x，.函数ycos2(x)是非奇非偶函数练习2函数的最小正周期是_【答案】2【解析】,，最小正周期降幂升角公式的主要应用是将三角函数式化为标准型“”以便求解函数的性质例3(2015河南新乡高一测试)已知向量a(5cosx，cosx)，b(sinx,2cosx)，设函数.（1）当时，求函数f(x)的最值；（2）当时，若f(x)8，求函数f(x)的值.【答案】（1）f(x)的最大值为10，最小值为；（2）5.【解析】（1）5s
8、inxcosx2cos2xsin2x4cos2x5sinxcosx5cos2xsin2x5sin(2x)5.由0x，得2x，sin(2x)1，f(x)的最大值为10，最小值为.（2） f(x)5sin(2x)58，sin(2x).x，2x.cos(2x).f(x)5sin2(x)55sin(2x)55sin(2x)cos5cos(2x)sin555()55.练习1(2010北京理)已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx.（1）求f()的值；（2）求f(x)的最大值和最小值【答案】（1）；（2）f(x)最大值6，f(x)最小值【解析】（1）f()2cossin24cos12（2）f(x
9、)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx3cos2x4cosx13(cosx)2，当cosx1时，f(x)取最大值6；当cosx时，f(x)取最小值练习2(理)(2010广东罗湖区调研)已知a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx,2cosx)，设f(x)ab（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）当时，求函数f(x)的最大值及最小值【答案】（1）最小正周期T；（2）x，f(x)有最大值；x，f(x)有最小值1.【解析】（1）f(x)ab(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2xf(x)的最小正周期
10、T（2）0x，2x，当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x时，f(x)有最小值1.三角函数关系式的综合应用主要是利用两角和与差的正弦余弦正切公式、二倍角公式（降幂升角公式）和辅助角公式将三角函数式化为“”的形式，再求函数的性质（单调性、对称性、周期性、最值、值域等）和差化积、积化和差公式（非重点，属于了解内容）一、和差化积公式与积化和差公式1、和差化积公式（1）；（2）；（3）；（4）2、积化和差公式（1）；（2）；（3）；（4）二、本章公式总结例1cos72cos36的值为()A32 B C D32【答案】C【解析】原式2sinsin2sin54sin182cos36cos722，故
11、选C.练习1已知，且coscos，则cos()等于_【答案】【解析】coscos2coscos2coscoscos，cos()2cos2121 练习2的化简结果是（ ）A B C D【答案】A【解析】原式tan 和差化积公式的推导运用了换元思想，只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与余弦的和与差，则需要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化成积 三角函数的和差化积可以理解成代数式的因式分解，因此，因式分解在代数式中起什么作用，和差化积在三角中就起什么作用.例2sin70cos20sin10sin50的值为()A B C. D.【答案】A【解析】sin70cos20sin10sin50(sin90sin50)(cos60cos40)sin50cos40.练习1在ABC中，若sinAsinBcos2，则ABC是()A 等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形【答
