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1、专题二数学思想方法概述数学思想方法既是思想也是方法,“思想”是统领全局的总纲,“方法”是可以具体操作的解题方法,“思想”与“方法”是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观
2、化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数辅形”,把直观图形数量化,使形更加精确.3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.4.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终集合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的
3、数学思想.一、函数与方程思想函数与方程思想在不等式中的应用【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于xR,均有f(x)f(x),则有()(A)e2 018f(-2 018)e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)f(x),并且ex0,所以g(x)g(0),g(2 018)f(0),f(2 018)e2 018f(0),f(2 018)e2 018f(0).故选D.【思维建模】 函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把
4、不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.热点训练1:(1)已知函数f(x)=ln x-asin x在区间,上是单调增函数,则实数a的取值范围为()(A)-,(B)-,(C),(D),+(2)(2017山西三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f(x)f(x),且f(x)f(x+3)=-1,若f(2 015)=-e,则不等式f(x)ex的解集为.解析:(1)f(x)=-acos x,由题意得-acos x0在,上恒成立,即a1xcosx在,上恒成立,设g(x)=1xcosx,则g(x
5、)=xsinx-cosx(xcosx)2,因为x,所以xsin x-cos xxcos x-cos x=(x-1)cos x0,所以g(x)0,所以g(x)在,上单调递减,所以g(x)小=g=,所以ag(x)小=.故选B.(2)因为f(x)f(x+3)=-1,所以f(x+3)=-,f(x+6)=-1f(x+3)=f(x),即f(x)的周期为6,所以f(2 015)=f(-1)=-e,因为f(x)是奇函数,所以f(1)=e.构造函数g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex0,即g(x)在R上单调递减,g(1)=f(1)e=1,f(x)exf(x)ex1g(x)1.答案:(1)B
6、(2)(1,+)函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设an的公比为q.由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-23+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.【思维建模】 数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,
7、可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),已知Sn与an关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数范围问题,应用函数思想来解决.热点训练2:设公差不为零的等差数列an的前5项和为55,且a2,a6+a7,a4-9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn12.(1)解:设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),则或a1=11,d=0(舍去).故数列an的通项公式为an=7+2(n-1),即an=2n+5.(2)证明:由an=2n+5,得bn=1212n-1-12n+1.所以Sn=b1+b2+bn=121
8、-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10,b0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=c216的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.解析:(1)如图,ABC为圆锥的轴截面,则O为其外接球的球心,设外接球的半径为R,连接OB,OA,并延长AO交BC于点D,则ADBC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD=3,则在RtBOD中,有R2=(3-R)2+12,解得R=233,所以外接球O的表面积S=4R2=.故选C.(2)不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=bax,由题意可知该切线方程为y=-ab(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)
9、2+y2=c216的圆心为(a,0),半径为,则圆心到切线的距离d=ac-a2c=,又e=ca,则e2-4e+4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2.答案:(1)C(2)2二、数形结合思想利用数形结合思想研究函数零点问题【例4】 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,则实数a的取值范围为.解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1)有解等价于函数y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.设直线y=a(x-1)与曲线y=f(x)在y轴右侧相切于(x0,ex0),切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),
10、因为切线过点(1,0),所以ex0(1-x0)=-ex0,所以x0=2,所以a=e2.当直线y=a(x-1)过点(-2,1)时,a=-13,所以a的取值范围为a-13或ae2.答案:-,-13e2,+)【思维建模】 解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.热点训练4:(1)(2017河北保定市模拟)已知函数f(x)=|x2+5x+4|,x0,2|x-2|,x0,若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)(1,3)(2)(2018石家
11、庄市质检)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则M的值为()(A)3(B)6(C)9(D)12解析:(1)函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,须y1=f(x)与y2=a|x|的图象有4个不同的交点.如图所示.由图可知,当y2=-ax(x0)与y1=-x2-5x-4(-4x-1)相切时,方程x2+(5-a)x+4=0有两个相等实数根,则(5-a)2-16=0,且a-50,解得a=1(a=9舍去).所以当x0时,y1=-x2-5x-4与y2=-ax的图象有3个交点,显然当1a2时,两函数的图象恰有4个不同交点,即函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点.故选B.(2)函数f(x)=|2x-3|-8sin x的零点就是函数h(x)=|2x-3|与g(x)=8sin x图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,画出函数h(x)与g(x)的图象,如图,因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x=32对称,两个函数的图象共有8个交点,所以函数f(x)的所有零点之和M=832=12.故选D.利用数形结合思想解决最值问题【例5】 已知实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根x1,x2,x1(0,1),x2(1,2).求(1)点(a,b)对
