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1、1 高等数学 第二十二讲 2 第三节 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 格林公式及其应用 第十一章 3 引例 计算 积分路径沿着圆周 的正向 解法 应用格林公式 由于二重积分和平面的曲线 那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来 本节介绍格林公式将指出 二重积分可以化为沿区域D的边界曲线L正向的曲线 积分 在平面闭区域D上的 这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系 积分都是化为定积分来计算的 4 区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 多连通区域 有 洞 区域 域D边界L的正向 域的内部靠左 定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有连续一阶
2、偏导数 一 格林公式 证明 即要证 5 证明 则 6 即 同理可证 两式相加得 7 2 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 如图 证毕 8 引例 计算 积分路径沿着圆周 的正向 解法 应用格林公式 9 例1 利用格林公式计算 L由曲线 解 画出闭曲线及其所围成的区域D 1 简化曲线积分 简单应用 10 例2计算 其中L为折线OABO O 0 0 A 1 0 B 1 2 解 11 所以由格林公式 例3 12 例4 设L是一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令 则 利用格林公式 得 13 例5 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区
3、域为D 由格林公式知 14 在D内作圆周 取逆时 针方向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 15 解 例6 16 统一变量化成定积分 取顺时针方向 17 其中L为上半圆周 解 沿逆时针方向 例7计算 18 例8 2009年考研 计算曲线积分 是曲线 解取辅助线 由格林公式 其中L 上从点 到点 的一段 19 2 计算平面面积 20 推论 正向闭曲线L所围区域D的面积 格林公式 例如 椭圆 所围面积 21 例9 用两种方法计算 L由曲线 解法1 22 例9用两种方法计算 L由曲线 解法2 轮换对称法 23 例11 计算 其中L为 1 抛物线 2 抛物线 3 有向折线 解 1 原
4、式 2 原式 3 原式 此题的特点 24 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 2 沿D中任意光滑闭曲线L 有 3 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 4 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 1 在D内每一点都有 25 证明 1 2 设L为D中任一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证毕 26 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 证明 2 3 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 2 27 证明 3 4 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此
5、有 和任一点B x y 与路径无关 有函数 28 证明 4 1 设存在函数u x y 使得 则 P Q在D内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 29 说明 根据定理2 若在某区域内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求du Pdx Qdy在域D内的原函数 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 30 例1 计算 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 它与L 圆周 所围区域为D 则 为了使用格林公式 添加辅助线段 31 解 因为 即不含原点的单连通域 积分与路径无关 取新路径 例2 32
6、其参数方程为 例2 33 例3 计算 解 积分与路径无关 统一变量化成定积分 34 例4 验证 是某个函数的全微分 并求出这个函数 证 设 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 35 例5 验证 在整个 平面内是全微分式 并求出它的一个原函数 解 在整个 平面上都成立 则所给出的微分式是全微分式 利用公式 取 为起点 动点为 方法1 36 方法2 37 方法3取 注 积分的起点不同 结果相差一个常数 应该选择 某些特殊的点方便计算 例5验证 平面内是全微分式 并求出它的一个原函数 38 方法4 39 例6 验证 在右半平面 x 0 内存在原函 数 并求出它 证 令 则 由定理2可知存在原函
7、数 40 或 41 2 设 提示 42 例7 设质点在力场 作用下沿曲线L 由 移动到 求力场所作的功W 解 令 则有 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 43 思考 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么 注意 本题只在不含原点的单连通区域内积分与 路径无关 44 例8 质点M沿着以AB为直径的半圆 从A 1 2 运动到 点B 3 4 到原点的距离 解 由图知 故所求功为 锐角 其方向垂直于OM 且与y轴正向夹角为 45 内容小结 1 格林公式 2 等价条件 在D内与路径无关 在D内有 对D内任意闭曲线L有 在D内有 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 统一变量化为定积分 加辅助线后用格林公式 将积分重新组合 46 思考与练习 1 设 且都取正向 问下列计算是否正确 提示 47 解 例8
