高考数学专题复习概率与统计经点答疑

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1、学科：数学教学内容：概率与统计经点答疑（二）5怎样由总体密度曲线来计算连续型随机变量的概率分布?经过上面几个问题的讨论我们了解了离散型随机变量，并学会了计算离散型随机变量的分布列但是在解决实际问题时除了应用离散型随机变量，我们还会用到连续型随机变量，这两种不同类型的随机变量在研究的方法上存在巨大差异什么是连续型随机变量呢?直观地讲，就是这种随机变量的取值不再是一些离散的点而是某些区间，甚至是整个数轴，比如，零件的尺寸、农作物的产量、水库的水位等等因为连续型随机变量不是可一一列举的，所以其概率规律性也就不能用分布列来刻画那么怎样去研究连续型随机变量取值的规律性呢?这就引出了课本中讲述的“总体密度

2、曲线”这个概念设 表示一个连续型随机变量，我们的目的是掌握 取值的规律性由于我们不能逐点去讨论它的取值情况，注：因为连续型随机变量的取值是实数轴的某个区间，而在实数轴上任何两个相异点之间总包含无穷多个点，所以采用逐点讨论的办法就行不通了所以我们转向讨论随机变量 在某个给定的区间(a，b上取值的情况如果对于任何的区间(a，b我们总能确定出 P(ab)的值，我们也就掌握了随机变量 的取值规律在我们还未具备研究连续型随机变量要使用的微分、积分等知识之前，我们只能讨论一些简单的连续型随机变量的概率分布对于连续型随机变量，我们一般是根据它的概率密度函数 f(x)来计算变量 在某一区间上取值的概率分布在具

3、体计算时我们采用函数和函数图象对应的方法先画出 f(x)的图象，然后看 f(x)的图象在给定的区间(a，b上所围的面积这个面积的数值就是连续型随机变量在给定的区间(a，b)引上取值的概率常用的连续型随机变量的概率分布有均匀分布、指数分布和正态分布等这三种分布的概率密度函数及总体密度曲线如图 1-l 所示：例 已知随机变量 的概率密度函数为：1. x0,2 f(1)画出随机变量 的概率密度曲线(2)求出 落在区间(0.2，0.8内的概率思路启迪易知函数 f(x)的图像是一条过原点的线段，而 落在区间(0.2，0.8内的概率就是f(x)的图像在区间(0.2，0.8内包含图形的面积规范解法 (1)f

4、(x)的图象如图 12 所示(2)根据 f(x)的图象可知 P(0.20.8)是图中阴影部分梯形的面积，易得P(0.20.8)2.08.02.10.6，所以 落在区间(0.2，0.8内的概率为 0.66期望和方差各是什么?在实际问题中，除了离散型随机变量的分布列之外，我们有时还要了解随机变量更多的特征期望和方差就是用来刻画随机变量数字特征的重要参数期望主要用来描述随机变量的平均取值情况，而方差则用来描述随机变量的取值对于平均值的离散程度作为随机变量重要的数字特征，期望和方差直观、综合地反映出了变量取值的大致情况，在实际中具有广泛的应用先来看期望，期望有时又称为数学期望或平均数等等它表明了随机变

5、量取值的平均水平，我们用下面的例子来引出数学期望的数学定义一个车间共有 5 台机床，对于这些机床，由于各种原因，时而工作，时而停止因此任一时刻工作着的机床数目是一个随机变量，为了精确估计该车间的电力负荷，我们需要知道车间中同时工作着的机床的平均数目假定我们进行了 20 次观察，结果如下表所示：工作着的机床数目 0 1 2 3 4 5频数 0 0 1 2 6 11频率 0 0 0201表 1-13因此，该车间中同时工作着的机床的平均数目为： .35420164203120510 由上面的计算过程可知，所求的平均数实际上就是随机变量的可能取值与取该值时对应的频率乘积之和由于这个平均值是由观察得来的

6、，所以会带有些偶然性，这种偶然性主要表现在频率上如果我们能用概率代替频率，就能从根本上消除这种偶然性，从而在本质上反映出随机变量的平均值为此，我们将期望定义为如下的值：一般地，设随机变量 的分布列为： 1x23x nxP pp p表 1-14我们定义 为离散型随机变量 的数学期望，简称期n21xxE望注：一个随机变量的期望是一个确定的值，如果它存在的话，应与等号右边的求和顺序无关根据数学期望的定义，我们可得关于期望的两条重要的性质：性质一：对于任何常数 c，公式 E(c)cE 恒成立注：一般地，随机变量 的期望可以成 E()简记为 E，但若 前有系数时，必须写成 E(k)，k 为常数系数性质二

7、：对于多个随机变量 ，若它们的期望都存在，则下式成立k21,.EEEk21 下面列举几个常用分布的期望值：(1)服从两点分布的随机变量 的期望值为 EP(其中 P 为 取 1 时的概率)(2)服从二项分布的随机变量 的期望值为 EnP(其中 P 为事件成功的概率)(3)服从几何分布的随机变量 的期望值为 .(其中 P 为事件成功的概率)p1E由上面的实例可知，期望在实际应用中很重要但在不少问题中，仅仅知道了随机变量的期望是不够的比如，考查射手打靶射击的水平，不仅要看他们各自平均击中的环数，而且还应看他们所击中环数的摆动程度假定两名射手各自射击 5 次，所得环数如下表：射击次数 1 2 3 4

8、5甲击中的环数 4 8 7 10 6己击中的环数 7 7 8 7 6表 1-15容易计算甲、乙二人射击的平均环数都是 7 环，但很明显击中环数与平均击中环数的偏离程度不一样从稳定性来看乙要好于甲把随机变量的这种特性用一个数字表示出来就有了方差的概念我们来看看方差的定义对于上述例题我们可以先计算每次击中的环数与平均击中环数的差的平方： 1.760,71;80；7;7对 射 手 己 有 ： 9;94对 射 手 甲 有 ： 22222 然后分别对它们求均值：对甲有：(91091)54对乙有：(00l01)50.4显然 0.44，即乙射手的射击稳定性要优于甲射手在这里为什么我们要用实际取值与平均取值的

9、差的平方参与运算而不用差本身呢?这是因为差本身可能由于有正有负而相互抵消，那就不能正确反映出偏离程度了，而用差的平方就定可以避免这种情况发生上面例中的实际取值与均值的差的平方和的平均值我们叫做方差方差是用来描述随机变量取值的偏离程度的量对于随机变量 ，方差记为 ，显然 表示 的D2E平均值，也就是 ，这就是方差的数学定义根据我们已知的期望的运算2ED法则有： .EE2222 2 在实际计算过程中，我们经常用上面推出的等式： 来计算方差和期22ED望一样，方差也有两条常用的性质： .c， 有 D性 质 一 ： 对 任 一 常 数 c2性质二：对于互相独立的随机变量 ，成立k21, K21.Dk2

10、1一些常用概率分布的方差如下：(1)两点分布的随机变量的方差为：Dp(1p)(2)服从二项分布的随机变量的方差为：Dnp(1p).2/Pp1随 机 变 量 的 方 差 为 ： D(3)服 从 几 何 分 布 的 注：除了方差外，我们还可能用到 ,一般用希腊字母 来表示，称为随机变量 的标准差，它也是描述随机变量取值离散程度的重要参数7离散型随机变量的期望和方差是如何计算的?离散型随机变量的数学期望和方差的计算主要有以下三种方法方法一：用定义求出先来回顾一下期望和方差的定义：设 为离散型随机变量，其分布列为：1x23x45x kxP ppp p表 1-16若和式 可以计算，则称之为随机变量 的数

11、学期望， k321xx记作 ，即 注：我们一般见到的分布列都为有限项，E21pp所以其期望值都是可以计算的对于无限项的分布列，在计算时要用到级数和极限的内容，我们这里暂不作介绍若随机变量 的数学期望 存在，且 也存在(这里的 是一个常数)，E2EE则称 为 的方差，记为 即 ，显然 根据上述2ED0D期望的定义可得方差的计算公式为： 22121 pxpx，计算随机变量的方差除用上述定义之外，最常用的是下面的简化公k2kpx式： .EpxpxED2k22122 来看下面的例题：例 1 有 3 只球和 4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4将球逐个独立地、随机地放入四个盒子中去以 表示其中至少有

12、只球的盒子的最小号码(例如事件3表示第1 号，第 2 号盒子都是空的，第 3 号盒子中至少有只球)，试求 E思路启迪 因为用公式计算 时必须知道随机变量 的分布列所以该题的第一步E是计算 的分布列由题述，显然 的可能取值为 1，2，3，4再来看 取各值的概率当 1 时，表示第 1 号盒子中至少有一只球，其球的放法共有种，这是因为第 l 号盒子仅有一只球的放法为 种，有37C3C2 213C两只球的放法共有 种，有 3 只球的放法共有 种2 3C当 2 时，表明 1 号盒子为空，第 2 号盒子至少有一个球其球的放法总数有种这是因为第 2 号盒子只有一只球的放法有 种，有93313 213两只球的

13、放法有 种，有三只球的放法共有 种2C3当 3 时，表示第 1 号，第 2 号盒子均为空，第 3 号盒子中至少有一只球，其球的放法有 7 种，这是因为第 3 只盒子只有一只球、两只球、三只球的放法分321别为： 种33,当 4 时，表明第 1、2、3 号盒子都为空，第 4 号盒子定有 3 个球，球的放法只有一种而 3 只球，放入 4 只盒子，盒子装球的个数不限，共有 种放法，所以.61P,67,69P,671 规范解法 由上面分析可得 的分布列为1 2 3 4P 37/64 19/64 7/64 1/64表 1-17因此，按照期望的计算公式可得： 641736419237E.50例 2 从学校

14、乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 .设随机变量 表示途中遇到红灯的次数，求 的分布52列和数学期望思路启迪 因为在每个交通岗只会发生两件事“遇到红灯”与“不遇到红灯” ，且两事件相互矛盾，因此遇到红灯的次数 是一随机变量且服从二项分布 52,3B规范解法 随机变量 服从二项分布，即 ， 的可能取值为,0，1，2，3，易求得： .CP,CP125833621254517323303于是所求的分布列为： P 12571254125361258表 1-18 的数学期望为 .83640E方法二：利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之为了方便应用，下面将几种常见离散型随机变量的期望和方差列成表，以备查用希望读者熟记表中所列的期望和方差的计算公式分布名称 分布列 期望 方差01 分布 p)(P;p)(101P P(1P)二项分布 n,kCkPnkn 2np np(1p)几何分布 ,pk11p12p表 1-19注：计算期望和方差时，应先考查其分布是否是常见分布属常见分布，其方差与期望可直接利用公式求之不必像例 1 那样先求分布列，再用定义计算，那样太麻烦，且容易算错例 3 某人掷不均匀钱币，出现反面的概率为 P，