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1、不等式 第一讲不等关系与不等式 知识点归纳1 不等式的定义在客观世界中 量与量之间的不等关系是普遍存在的 我们用数学符号 连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子 叫做不等式 2 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的 有a b 0 a b 0 a b0 则有 1 1 注意 在应用作差法比较实数大小时 一定要变到能直接判断差的符号为止 变形过程中要保持等价性 a b a b a b a b a b a b 3 不等式的性质性质1 对称性如果a b 那么b a 如果bb 且b c 那么a c 也可等价表示为 如果cb 那么a c b c 推论1 移项
2、法则如果a b c 那么a c b 推论2 同向可加性如果a b 且c d 那么a c b d 性质4 乘法法则如果a b 且c 0 那么ac bc 如果a b 且c 0 那么ac bc 推论1 同向可乘性如果a b 0 且c d 0 那么ac bd 推论2 乘方法则如果a b 0 那么an bn n N 且n 1 推论3 开方法则如果a b 0 那么 n N 且n 1 注意 运用上述性质解决问题时 必须注意性质成立的条件 如 同向不等式相乘时 注意a b 0 c d 0 基础训练1 设a 0 b 0 已知m b a 且m 0 则的取值范围是 A B C 0 0 D 解析 因为0的倒数无意义
3、因此我们先将区间 b a 分成两部分 b 0 0 a 分别求倒数可得 故选D 答案 D 2 已知a b 则可以推出 A B ac2 bc2C D ac 2 bc 2 答案 B 3 a 2且b 2 是 a b 4 且ab 4 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 A 4 若x y 0 a0 则x y的值为 A 大于0B 等于0C 小于0D 符号不能确定 答案 A 5 已知a b c满足cacB c b a 0 答案 A 类型一 用不等式表示不等关系 解题准备 1 我们用数学符号 b 或者a b 等价于 a不小于b 例1某汽车公司由于发展的需要需购进一
4、批汽车 计划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元 90万元的A型汽车和B型汽车 根据需要 A型汽车至少买5辆 B型汽车至少买6辆 写出满足上述所有不等关系的不等式 1 将实际的不等关系写成对应的不等式时 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表 2 注意区分 不等关系 和 不等式 的异同 不等关系强调的是关系 可用 表示 不等式则是表现不等关系的式子 对于实际问题中的不等关系可以从 不超过 至少 至多 等关键词上去把握 并考虑到实际意义 本题中就容易忽视x y N 类型二
5、 不等式性质的应用解题准备 不等式的性质就其逻辑关系而言 可分为推出关系 充分条件 和等价关系 充要条件 两类 同向可加性和同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式 同向可乘时 应注意a b 0 c d 0 深刻理解不等式的性质时 把握其逻辑关系 才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题 例2 下列各命题是否成立 如不成立 能否适当添加条件使命题成立 1 若ac2 bc2 则a b 2 若a b 则 ac bc 3 若a b 则b c d 则ac bd 解 1 命题成立 2 c0 4 需添加 c 0 b 0 或 a 0且d 0 或 c 0且b 0 可使命题成立 对照不等式的运算性质 还可添加
6、 b 0且d 0 也可使命题成立 练习已知三个不等式 ab 0 bc ad 0 其中a b c d均为实数 用其中两个不等式作为条件 余下的一个不等式作为结论组成一个命题 可组成的正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 设ab 0为 bc ad 0为 若 成立 则 bc ad 0 若 成立 则即bc ad 0 即 成立 若 成立 则由 得由 bc ad 0得ab 0 即 成立 故正确命题个数为3个 选D 类型三 比较大小解题准备 作差法比较大小的步骤是 作差 变形 判断差的符号 下结论 作商法比较大小的步骤是 作商 变形 判断商与1的大小 下结论 其中变形是关键 变形方法主要是通分
7、因式分解和配方等 变形要彻底 要有利于与0或1比较大小 例1 设a b是不相等的正数 A G H Q 试比较A G H Q的大小 探究 设f x 1 logx3 g x 2logx2 x 0且x 1 试比较f x 与g x 的大小 分析 化为同底数的对数 作差比较 解 比较两对数的大小 应联想对数的性质及对数函数的单调性 f x g x 1 logx3 2logx2 logx3x logx4 logxx 2 当logxx 0时 即x 1 也就是x 时 f x g x 3 当logxx或0g x x 时 f x g x 1 x 时 f x g x 评析 1 比较两实数 或两代数式值 的大小常用的
8、方法是作差比较或作商比较 2 作差比较的基本步骤 作差 变形 判断符号 结论 此方法的关键是变形 常用到的知识有对数的运算性质 多项式的因式分解等 判定符号常用的知识有函数的单调性 不等式的性质 二次三项式的取值等 当式子随x的取值变化而发生符号改变时 要注意分类讨论 练习1 甲 乙两人同时从寝室到教室 甲一半路程步行 一半路程跑步 乙一半时间步行 一半时间跑步 如果两人步行速度 跑步速度均相同 则 A 甲先到教室B 乙先到教室C 两人同时到教室D 谁先到教室不确定 答案 B 2 下列大小关系正确的是 A 0 431 0 43 0 log40 3 故选C 答案 C 例2 1 若x0 b 0且a
9、 b 试比较aabb与abba的大小 解析 1 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y x0 x y0 x2 y2 x y x2 y2 x y 2 根据同底数幂的运算法则 综上所述 对于不相等的正数a b 都有aabb abba 已知a b c满足 a b c R a2 b2 c2 当n N n 2时 比较cn与an bn的大小结果为 类型四 利用不等式的性质求范围解题准备 1 在处理此类问题时 严格根据不等式的基本性质和运算法则 是正确解答此类题目的保证 2 此类问题中的参数不是相互独立的 而是相互制约的 故不可分割开来 应先建立待求范围的整体
10、与已知范围的整体的等量关系 最后通过 一次性 不等式关系的运算求得待定整体的范围 这是避免此类题目出错的一条途径 例1 设f x ax2 bx 1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 分析 利用f 1 与f 1 表示出a b 然后再代入f 2 的表达式中 从而用f 1 与f 1 表示f 2 最后运用已知条件确定f 2 的取值范围 此题还可用线性规划求解 法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 即4a 2b m n a n m b 于是得解得 f 2 3f 1 f 1 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10
11、 故5 f 2 10 评析 此题易有如下错误解法 由 例2 已知函数f x x3 x x R 1 指出f x 在 上的奇偶性及单调性 2 若a b c R 且a b 0 b c 0 c a 0 判断f a f b f c 的符号 解析 1 由定义知 f x 为奇函数 且为增函数 2 a b 0 a b f a f b f b 同理 由b c 0 得f b f c 由c a 0得 f c f a 相加得f a f b f c f a f b f c 即f a f b f c 0 点评 应用函数的单调性也是比较数的大小中常用的方法 练习 若1 a 3 4 b 2 那么a b 的取值范围是 A 1 3 B 3 6 C 3 3 D 1 4 答案 C 解析 由 4 b 2 0 b 4 4 b 0 又1 a 3 3 a b 3 故选C
