几何图形中地最值问题

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1、实用文案几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:1.函数:二次函数有最大值和最小值;一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2.不等式: 如x7,最大值是7;如x5,最小值是5.3.几何图形: 两点之间线段线段最短。直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短,在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。一、最小值问题例1. 如图4,已知正方形的边长是8,M在DC上,且DM=2,N为线段AC上的一动点,求DN+MN的最小值。解: 作点D关于AC的对称点D/,则点D/与点B重合,连BM,交AC于N,连DN,则DN+MN最短,且DN+MN=BM。 C

2、D=BC=8,DM=2, MC=6,在RtBCM中,BM=10,DN+MN的最小值是10。例2,已知,MN是O直径上,MN=2,点A在O上,AMN=300,B是弧AN的中点,P是MN上的一动点,则PA+PB的最小值是 解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P,则PA+PB最短。 连OB,OA/,AMN=300,B是弧AN的中点,BOA/=300, 根据对称性可知NOA/=600, MOA/=900,在RtA/BO中,OA/=OB=1,A/B= 即PA+PB=例3. 如图6,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P,使点P到D、E两点的距离之和最小,并求出

3、最小值。解:作点E关于直线y=x的对称点M,连MD交直线y=x于P,连PE,则PE+PD最短;即PE+PD=MD。E(-1,-4), M(-4,-1),过M作MNx轴的直线交过D作DNy轴的直线于N,则MNND, 又D(1,-3),则N(1,-1), 在RtMND中,MN=5,ND=2, MD=。 最小值是。练习1.(2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm【答案】15。【解】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长1

4、8宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知APPC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP。 由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。 在RtBCD中,由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。2.正方形ABCD边长是4,DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点(两动点不重合),则PQ+DQ的最小值是 解:过点D作DFAC,垂足为F,则DF即为PQ+DQ的最小值正方形ABCD的边长是4,AD=4,DAC=45,在直角ADF

5、中,AFD=90,DAF=45,AD=4,DF=ADsin45=4=2故答案为23.(2009陕西)如图,在锐角ABC中,AB4,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM MN的最小值是_解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上,且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短,即为B/H最短。在RtAHB/中,B/AH45,AB/=4,B/H=4,BM MN的最小值是4.4.如图,菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 ,解:四边形ABCD是菱形,ADBC,A=120,B=18

6、0A=180120=60,作点P关于直线BD的对称点P,连接P/Q,PC,则P/Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知, 当点Q与点C重合,CP/AB时PK+QK的值最小,在RtBCP/中,BC=AB=2,B=60,CP/=BCsinB=2=5. (2012兰州)如图,四边形ABCD中,BAD120,BD90,在BC、CD上分别找一点M、N,使AMN周长最小时,则AMNANM的度数为【 】A130 B120 C110 D100解:作A关于BC和ED的对称点A,A,连接AA,交BC于M,交CD于N,则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AH,EAB120,HAA60,AAMAHAA60,MAA

7、MAA,NADA,且MAAMAAAMN,NADAANM,AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120,故选:B6. (2011贵港)如图所示,在边长为2的正ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则BPG的周长的最小值是 解:要使PBG的周长最小,而BG=1一定,只要使BP+PG最短即可,连接AG交EF于M,等边ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,AGBC,EFBC,AGEF,AM=MG,A、G关于EF对称,即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即PBG的周长最小,AP=PG,BP=BE,最小值是:PB+PG+BG=

8、AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案为:37.(第二阶段十三)在平面直角坐标系中,RtOAB的顶点A的坐标是(9,0),tanBOA=,点C的坐标为(2,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为 解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DNOA于N,则此时PA+PC的值最小,RtOAB的顶点A的坐标为(9,0),OA=9,tanBOA=AB=3,B=60,AOB=30,OB=2AB=6由三角形面积公式得:SOAB=OAAB=OBAM,即93=6AM,AM=,AD=2=9,AMB=90,B=60,BAM=30,BAO=90,OAM=60,DNOA

9、,NDA=30,AN=AD=,由勾股定理得:DN=,C(2,0),CN=92=,在RtDNC中,由勾股定理得:DC=即PA+PC的最小值是,8.(2013苏州)如图,在平面直角坐标系中,RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3, ),点C的坐标为( ,0),点P为斜边OB上的一动点,则PAC周长的最小值为()解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DNOA于N,则此时PA+PC的值最小,DP=PA,PA+PC=PD+PC=CD,B(3,),AB=,OA=3,B=60,由勾股定理得:OB=2,由三角形面积公式得:OAAB=OBAM,AM=,AD=2=3,AM

10、B=90,B=60,BAM=30,BAO=90,OAM=60,DNOA,NDA=30,AN=AD=,由勾股定理得:DN=,C(,0),CN=3=1,在RtDNC中,由勾股定理得:DC=,即PAC周长的最小值为+,9.(2013徐州模拟.仿真一)在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(20,0)(20,10)。在线段AC、AB上各有一动点M、N,则当BM+MN为最小值时,点M的坐标是( )解:如图,作点B关于AC的对称点B,过点B作BNOB于N,BN交AC于M,则BN=BM+MN=BM+MN,BN的长就是BM+MN的最小值连接OB,交DC于P四边形ABCD是矩形

11、,DCAB,BAC=PCA,点B关于AC的对称点是B,PAC=BAC,PAC=PCA,PA=PC令PA=x,则PC=x,PD=20-x在RtADP中,PA2=PD2+AD2,x2=(20-x)2+102,x=12.5cosBON=cosOPD,ON:OB=DP:OP,ON:20=7.5:12.5,ON=12tanMON=tanOCD,MN:ON=OD:CD,MN:12=10:20,MN=6点M的坐标是(12,6)故答案为(12,6)10.如图,在矩形ABCD中,AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值,求最小值。解:如图,作点B关于直线AC的对称点B,交AC

12、与E,连接BM,过B作BGAB于G,交AC于F,由对称性可知,BM+MN=BM+MNBG,当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=10,点B与点B关于AC对称,BEAC,SABC=ACBE=ABBC,得BE=4 ,BB=2BE=8因BBG+CBE=ACB+CBE=90,则BBG=ACB,又BGB=ABC=90,得BGBABC,BG=16,故BM+MN的最小值是16cm故答案为:16cm11.如图,已知正方形ABCD的边长为10,点P是对角线BD上的一个动点,M、N分别是BC、CD边上的中点,则PM+PN的最小值是解:作点N关于BD的对称点N,交AD与N/,连接N/M,则N/M=AB最短

13、。故答案为:MN/=10cm12.(仿真六)如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC中点P是BD上的一个动点(P与B、D不重合)(1)求证:APBCPB;(2)设折线EPC的长为y,求y的最小值,并说明点P此时的位置解:AE=,BD=2,可证BP=BD,BP=,距B点。13.如图,ABC是等腰直角三角形,C=900,BC=2,B是三角形的角的平分线,点E、F是BD和BC上的动点,则CE+EF的最小值解:作C关于BD的对称点C/,过C/作C/FBC于F,则CE+EF的最小值是C/F。C/FAC,C/F=2, CE+EF的最小值是2.14.如图,已知梯形ABCD中,ADBC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上,CN=2,E是BC的中点,M是AC上的一个动点,则EM+MN的最小值解:作N点关于AC的对称点N,连接NE交AC于MDAC=ACB,DAC=DCA,ACB=DCA,点N关于AC对称点N在CD上,CN=CN=2,又DC=4,EN为梯形的中位线,EN=(AD+BC)=6,EM+MN最小值为:EN=616.已知等腰梯形ABCD,ADBC,AB=DC,AC平分BCD,BAAC,若AC=4,P、M、N分别是AC、AD、DC上的任意一点,则PM+PN的最小值

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