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1、指数函数一、考纲点击1了解指数函数模型的实际背景；2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.3.多以选择、填空题形式出现,但若以e为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现.1根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是
2、零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根（2）两个重要公式；。2有理数指数幂（1）幂的有关概念正整数指数幂:;零指数幂:;负整数指数幂:正分数指数幂:;负分数指数幂: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a0,r、sQ); (ar)s=ars(a0,r、sQ); (ab)r=arbs(a0,b0,rQ);.3指数函数的图象与性质 y=axa10a0时，y1;x0时,0y0时，0y1;x1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数思考：如
3、图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【热点难点全析】一、幂的运算的一般规律及要求1相关链接(1)分数指数幂与根式根据可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 写成等必须认真考查a的取值才能决定,如而无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的
4、一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则化根式为分数指数幂； 化负指数幂为正指数幂；化小数为分数； 注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负
5、指数幂。2例题解析例1（1）化简：；（2）计算：分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。解：（1）原式=；（2）原式=例2已知，求的值解：，又，二、指数函数的图象及应用1相关链接（1）图象的变换 （2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质图象在x轴上的投影可得出函数的定义域；图象在y轴上的投影可得出函数的值域；从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；由两个图象
6、交战的横坐标可得方程的解。（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.（4）利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.2例题解析例1已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合
7、求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-,0)上递减；函数f(x)在(0,+)上递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.由图象知,当时,解得两图象相交,从图象可见,当时,f(x)f(x+1)；当时,f(x)=f(x+1);当时,f(x)f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.例
8、2已知函数y=()|x+1|。（1） 作出图象；（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是： 另一部分是：图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质及应用1、相关链接与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤求复合函数的定义域；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；分层逐一求解函数的单调性；求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。2、例题解析例1(1)函数的定
9、义域是_.(2)函数的单调递减区间为_,值域为_.(3)已知函数 (a0且a1)求f(x)的定义域和值域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.解析：(1)由题意知32x-13-3,2x-1-3,x-1,即定义域是-1,+).答案：-1,+)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：(-,-2)3-7,+)
10、(3)f(x)的定义域是R, 令得ax=-,ax0,-0,解得-1y1, f(x)的值域为y|-1y1. f(x)是奇函数.设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则 x1x2,当a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0a1时, 从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.例2如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a0且a1)在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由题意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，令
11、t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t0).当a1时，t= ax在上为增函数，则此时t1,而对于f(t)而言，对称轴t=2,故f(x)在上不可能为增函数； 当0a1时，t=ax在上为减函数，此时0t0,a1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x-1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围.思路分析：本题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性，由于已知函数的解析式，因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题，实质上是探求f(x)的最小值.解答：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)为奇函数；（2）方法一：设，则 当a1时， 0，0
12、，0，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)为增函数；当0a1时，0，0，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)为增函数；综上可知：函数f(x)= (ax-a-x) (a0,a1)在定义域上为增函数；方法二：f(x)= (ax-a-x)，f(x)= (axlna+a-xlna)=当a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数；当0a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数，综合可知：f(x)为增函数。(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，f(x)在区间-1,1上为增函数，f(-1)f(x)f(1)，f(x)min=f(-1)= (a-1-a)
13、=-1，要使f(x)b在-1,1上恒成立，则只需b-1，故b的取值范围是(-,-1.高考体验：1（2012山东高考文科15）若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 答案：2（2011山东高考理科3）若点（a,9）在函数的图象上，则的值为：（）0 （） （）1 （）【精讲精析】答案：.点（a,9）在函数的图象上，所以，所以3（2011四川高考文科4）函数的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）.【思路点拨】（法一）先作出的图象， 再作关于直线对称的图象.（法二）先求出时，反函数的解析式，再作反函数的图象.【精讲精析】选.（ 法一）先由的图象向上平移一个单位，作出的图象，再作直线对称的图象. (法二)当时，反函数的解析式为由的图象向右平移1个单位，即得所需图象.故选.4（2010辽宁文数）（10）设，且，则（） （）10 （）20 （）100
