《高等代数智能电子教案课件第九章欧几里得空间 第六节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数智能电子教案课件第九章欧几里得空间 第六节（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容 第六节实对称矩阵的标准形 问题的提出 实对称矩阵的性质 主要结论 正交矩阵的求法 举例 正交的线性替换 一 问题的提出 在第五章我们得到 任意一个对称矩阵都合同 于一个对角矩阵 使 CTAC 成对角形 在这一节 我们将利用欧氏空间的理论 把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强 这就 是这一节要解决的主要问题 换句话说 都有一个可逆矩阵C 对于任意一个n级实对称矩阵A 都存在一个 n级正交矩阵T 使 TTAT T 1AT 成对角形 先讨论对称矩阵的一些性质 它们本身在今后 也是非常有用的 我们把它们归纳成下面几个引理 二 实对称矩阵的性质 引理1设A是实对称矩阵 则A的特征值 都是实数
2、 证明 设 0是A的特征值 于是有非零向量 满足 A 0 令 其中 是xi的共轭复数 则 考察等式 其左边为 右边为 故 又因为 是非零向量 证毕 对应于实对称矩阵A 在n维欧氏空间Rn上 定义一个线性变换A 显然A在标准正交基 下的矩阵就是A 引理2设A是实对称矩阵 A的定义如上 则对任意的 Rn 有 A A 3 或 T A TA 证明 只要证明后一等式即可 实际上 T A TAT A T T A 证毕 等式 3 把实对称矩阵的特性反映到线性变换上 我们引入下述概念 定义12欧氏空间中满足等式 的线性 变换称为对称变换 容易看出 对称变换在标准正交基下的矩阵是 实对称矩阵 用对称变换来反映实
3、对称矩阵 一些 性质可以看得更清楚 引理3设A是对称变换 V1是A 子空 间 则V1 也是A 子空间 证明 设 V1 要证A V1 即 A V1 任取 V1 都有A V1 因为 V1 故 A 0 因此 A A 0 即A V1 A V1 V1 也是A 子空间 证毕 引理4设A是实对称矩阵 则Rn中属于A 的不同特征值的特征向量必正交 证明 设 是A的两个不同的特征值 分别是属于 的特征向量 即 A A 由 A A 有 因为 所以 0 即 正交 证毕 三 主要结论 现在来证明本节的主要定理 定理7对于任意一个n级实对称矩阵A 都存在一个n级正交矩阵T 使TTAT成对角形 证明 由于实对称矩阵和对称
4、变换的关系 只 要证明对称变换A有n个特征向量构成标准正交 基即可 我们对空间的维数n作归纳法 n 1 显然定理的结论成立 设n 1时定理的结论成立 对n维欧氏空间Rn 线性变换A有一特征向量 1 其特征值为实数 1 把 1单位化 还用 1代表它 作L 1 的正交补 设为V1 由 V1是A的不变子空间 其 维数为n 1 又A V1显然也满足 仍是对 称变换 据归纳假设 A V1有n 1个特征向量 2 n构成V1的标准正交基 从而 1 2 n是Rn的标准正交基 又是A的n个特征向量 定理得证 证毕 四 正交矩阵的求法 下面来看看在给定一个实对称矩阵A之后 按 什么办法求正交矩阵T使TTAT成对角
5、形 在定理 的证明中我们看到 矩阵A按 式在Rn中定 义了一个线性变换 求正交矩阵T问题就相当于在 Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基 事 实上 设 是Rn的一组标准正交基 它们都是A的特征向量 显然 由 1 2 n到 1 2 n的过渡矩 是 T是一个正交矩阵 而 T 1AT TTAT 就是对角形 根据上面的讨论 求正交矩阵T的步骤如下 STEP1求出A的特征值 设 1 r是A 的全部不同的特征值 STEP2对于每个 i 解齐次线性方程组 求出一个基础解系 这就是A的特征子空间 的 一组基 由这组基出发 按 的方法求出 的一组标准正交基 STEP3因为 1 r两两不同 所以根据 这一节
6、 向量组 还是两两正交的 又根据 以及第七章 第五节的讨论 它们的个数就等于空间的维数 因 此 它们就构成Rn的一组标准正交基 并且也都 是A的特征向量 这样 正交矩阵T也就求出了 五 举例 例1已知 求一正交矩阵T使TTAT成为对角形 解 先求A的特征值 单击这里求解 所以A的特征值为 其次 求属于1的特征向量 把 1代入 单击这里求解 求得基础解系为 把它正交化 得 再单位化 得 这是属于三重特征值1的三个标准正交的特征向 量 再求属于 3的特征向量 用 3代入 4 得 单击这里求解 求得基础解系为 1 1 1 1 把它单位化 得 特征向量 1 2 3 4构成R4的一组标准正交基 所求的正
7、交矩阵为 而TTAT diag 1 1 1 3 例2设 求正交矩阵P 使P 1AP为对角矩阵 应该指出 在 中 对于正交矩阵T 我们还可以进一步要求 T 1 事实上 如果求得的正交矩阵T的行列式为 1 那么取 令 T1 TS 则T1是正交矩阵 而且 T1 T S 1 显然 T1TAT1 TTAT 六 正交的线性替换 如果线性替换 的矩阵C cij 是正交的 那么它就称为正交的 线性替换 正交的线性替换当然是非退化的 用二次型的语言 可以叙述为 定理8任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换变成平方和 1y12 2y22 nyn2 其中平方项的系数 1 2 n就是矩阵A的特 征多项式全部的根
8、最后我们指出 这一节的结果可以应用到几何 上化简直角坐标系下二次曲面的方程 以及讨论二 次曲面的分类 在直角坐标系下 二次曲面的一般方程是 a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz 七 二次曲面的化简 2b1x 2b2y 2b3z d 0 5 令 则 5 式可以写成 XTAX 2BTX d 0 6 经过转轴 坐标变换公式为 或者X CX1 其中C为正交矩阵且 C 1 在新坐标系中 曲 面的方程就是 X1T CTAC X1 2 BTC X1 d 0 根据上面的结果 有行列式为1的正交矩阵C使 这就是说 可以作一个转轴 使曲面在新坐标系中 的方程为 1x12 2
9、y12 3z12 2b1 x1 2b2 y1 2b3 z1 d 0 其中 b1 b2 b3 b1 b2 b3 C 这时 再按照 1 2 3是否为零的情况 作适当 的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程 譬如说 当 1 2 3全不为零时 就作移轴 于是曲面的方程化为 1x22 2y22 3z22 d 0 其中 例3把下列二次曲面的方程化为标准形 并 确定曲面的形状 解 方程中的二次型部分的矩阵为 下面来求正交矩阵C 使CTAC成对角形 先 求A的特征值 单击这里求特征多项式 所以A的三个特征值为 当 时 解方程组 即 得 单击这里求解 当 时 解方程组 即 得 单击这里开始求解 当 时 解方
10、程组 即 得 单击这里开始求解 显然 p1 p2 p3两两正交 现把它们单位化 令 再令 则C为正交矩阵 且有 由于 所以作转轴X CX1后 曲面 在新坐标系中的方程就是 变形得 最后作移轴 于是曲面的方程就化成标准方程 由此可知 方程所表示的曲面为双叶双曲面 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本
11、节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮
