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1、难点 39 化归思想 化归与转换的思想 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式 借助某种函数性质 图 象 公式或已知条件将问题通过变换加以转化 进而达到解决问题的思想 等价转化总是将 抽象转化为具体 复杂转化为简单 未知转化为已知 通过变换迅速而合理的寻找和选择 问题解决的途径和方法 难点磁场 1 一条路上共有9 个路灯 为了节约用电 拟关闭其中3 个 要求两端的 路灯不能关闭 任意两个相邻的路灯不能同时关闭 那么关闭路灯的方法总数为 2 已知平面向量a 3 1 b 2 3 2 1 1 证明 a b 2 若存在不同时为零的实数k 和 t 使 x a t2 3 b y ka tb 且 x y 试
2、求函数 关系式 k f t 3 据 2 的结论 讨论关于t 的方程 f t k 0 的解的情况 案例探究 例 1 对任意函数f x x D 可按图示构造一个数列发生器 其工 作原理如下 输入数据x0 D 经数列发生器输出x1 f x0 若 x1D 则数列发生器结束工作 若 x1 D 则将 x1 反馈回输入端 再输出 x2 f x1 并依此规律继续下去 现定义 1 24 x x xf 1 若输入x0 65 49 则由 数列发生器产生数列 xn 请写出 xn 的所 有项 2 若要数列发生器产生一个无穷的常数列 试求输入的初始数据x0 的值 3 若输入 x0 时 产生的无穷数列 xn 满足对任意正整
3、数n 均有 xn xn 1 求 x0 的取 值范围 命题意图 本题主要考查学生的阅读审题 综合理解及逻辑推理的能力 属 级题 目 知识依托 函数求值的简单运算 方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题 的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言 错解分析 考生易出现以下几种错因 1 审题后不能理解题意 2 题意转化不出数学 关系式 如第2问 3 第 3 问不能进行从一般到特殊的转化 技巧与方法 此题属于富有新意 综合性 抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意 转化为数学语言 这就要求我们慎读题意 把握主脉 体会数学转换 解 1 f x 的定义 域 D 1 1 数列 xn 只有
4、三项 1 5 1 19 11 321 xxx 2 x x x xf 1 24 即 x2 3x 2 0 x 1 或 x 2 即 x0 1 或 2 时 n n n n x x x x 1 24 1 故当 x0 1 时 xn 1 当 x0 2 时 xn 2 n N 3 解不等式1 24 x x x 得 x 1 或 1 x 2 要使 x1 x2 则 x2 1 或 1 x1 2 对于函数 1 6 4 1 24 xx x xf 若 x1 1 则 x2 f x1 4 x3 f x2 x2 若 1 x1 2 时 x 2 f x1 x1 且 1 x2 2 依次类推可得数列 xn 的所有项均满足 xn 1 xn
5、n N 综上所述 x1 1 2 由 x1 f x0 得 x0 1 2 例 2 设椭圆C1 的方程为 1 2 2 2 2 b y a x a b 0 曲线 C2 的方程为y x 1 且曲线C1 与 C2在第一象限内只有一个公共点P 1 试用 a 表示点 P的坐标 2 设 A B是椭圆 C1的两个焦点 当a 变化时 求 ABP的面积函数S a 的值域 3 记 min y1 y2 yn 为 y1 y2 yn 中最小的一个 设 g a 是以椭圆C1的半焦 距为边长的正方形的面积 试求函数f a min g a S a 的表达式 命题意图 本题考查曲线的位置关系 函数的最值等基础知识 考查推理运算能力及
6、综合 运用知识解题的能力 属 级题目 知识依托 两曲线交点个数的转化及充要条件 求函数值域 解不等式 错解分析 第 1 问中将交点个数转化为方程组解的个数 考查易出现计算错误 不能借 助 找到a b 的关系 第 2 问中考生易忽略a b 0 这一隐性条件 第 3 问中考生往 往想不起将min g a S a 转化为解不等式g a S a 技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题 是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标 转化有桥梁 转化有效果 解 1 将 y x 1 代入椭圆方程 得 1 1 222 2 xba x 化简 得b2x4 a2b2x2 a2
7、0 由条件 有 a4b4 4a2b2 0 得 ab 2 解得 x 2 a 或 x 2 a 舍去 故 P的坐标为 a a2 2 2 在 ABP中 AB 2 22 ba 高为 a 2 4 1 2 2 2 2 1 4 22 aa baaS a b 0 b a 2 a a 2 即 a 2 得 0 4 4 a 1 于是 0 S a 2 故 ABP的面积函数 S a 的值域为 0 2 3 g a c2 a2 b2 a2 2 4 a 解不等式g a S a 即 a2 2 4 a 4 1 2 4 a 整理 得a8 10a4 24 0 即 a4 4 a4 6 0 解得 a 2 舍去 或a 4 6 故 f a m
8、in g a S a 6 4 1 2 62 4 4 4 4 2 2 a a a a a 锦囊妙计 转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则 部分地改变了原对象的实质 需对所得结论进行必要的修正 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易 化生为熟 化繁为简 尽量是等价转化 常见 的转化有 正与反的转化 数与形的转化 相等与不等的转化 整体与局部的转化 空间 与平面相互转化 复数与实数相互转化 常量与变量的转化 数学语言的转化 歼灭难点训练 一 选择题 1 已知两条直线l1 y x l2 ax y 0 其中 a R 当这两条直线的夹角在 0 2 内变动时 a
9、的取值范围是 A 0 1 B 3 3 3 C 3 3 1 1 3 D 1 3 2 等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别用Sn和 Tn 表示 若 53 4 n n T S n n 则 n n n b a lim 的值为 A 3 4 B 1 C 3 6 D 9 4 二 填空题 3 某房间有4 个人 那么至少有2 人生日是同一个月的概率是 列 式表示即可 4 函数 f x x3 3bx 3b 在 0 1 内有极小值 则 b 的取值范围是 三 解答题 5 已知f x lg x 1 g x 2lg 2x t t R是参数 1 当 t 1 时 解不等式f x g x 2 如果 x 0 1 时 f
10、x g x 恒成立 求参数t 的取值范围 6 已知函数f x a1x a2x2 a3x3 anxn n N 且 a1 a2 a3 an 构成一 个数列 an 满足 f 1 n2 1 求数列 an 的通项公式 并求 1 lim n n n a a 2 证明 0 f 3 1 1 7 设A B是双曲线 x2 2 2 y 1 上的两点 点N 1 2 是线段AB的中点 1 求直线AB的方程 2 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C D 两点 那么A B C D 四点是否共 圆 为什么 8 直线y a 与函数 y x3 3x 的图象有相异三个交点 求a 的取值范围 参 考 答 案 难点磁场 1 解析
11、9 个灯中关闭3 个等价于在6 个开启的路灯中 选 3 个间隔 不包括两端外边的装 置 插入关闭的过程故有 C 3 5 10 种 答案 10 2 1 证明 a b 2 3 1 2 1 3 0 a b 2 解 x y x y 0 即 a t2 3 b ka tb 0 整理后得 ka2 t k t2 3 a b t t2 3 b2 0 a b 0 a2 4 b2 1 上式化为 4k t t2 3 0 k 4 1 t t2 3 3 解 讨论方程 4 1 t t2 3 k 0 的 解的情况 可以看作曲线f t 4 1 t t2 3 与直线 y k 的交点个数 于是 f t 4 3 t2 1 4 3 t
12、 1 t 1 令 f t 0 解得 t1 1 t2 1 当 t 变化时 f t f t 的变化情况如下表 t 1 1 1 1 1 1 f t 0 0 f t 极大值 极小值 当 t 1 时 f t 有极大值 f t 极大值 2 1 当 t 1 时 f t 有极小值 f t 极小值 2 1 而 f t 4 1 t2 3 t 0 时 得 t 3 0 3 所以 f t 的图象大致如右 于是当 k 2 1 或 k 2 1 时 直线y k 与曲线y f t 仅有一 个交点 则方程有一解 当 k 2 1 或 k 2 1 时 直线与曲线有两个交点 则方程有两解 当k 0 直线与曲线有三个 交点 但k t 不
13、同时为零 故此时也有两解 当 2 1 k 0 或 0 k 2 1 时 直线与曲线有三 个交点 则方程有三个解 歼灭难点训练 一 1 解析 分析直线l2 的变化特征 化数为形 已知两直线不重合 因此问题应该有两 个范围即得解 答案 C 2 解析 化和的比为项的比 nnn n n bnTan aa nS 12 12 2 12 12 121 12 26 48 5 12 3 12 4 12 12 n n n n T S b a n n n n 取极限易得 答案 A 二 3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率 答案 4 4 12 12 A 1 4 解析 转化为 f x 3x2 3b
14、在 0 1 内与 x 轴有两交点只须 f 0 0 答案 0 b 1 三 5 解 1 原不等式等价于 054 2 1 12 1 012 01 2 2 xx x xx x x 即 即 4 5 0 2 1 xx x 或 x 4 5 原不等式的解集为 x x 4 5 2 x 0 1 时 f x g x 恒成立 x 0 1 时 2 2 1 02 01 txx tx x 恒成立 即 12 2 01 xxt xt x 恒成立 即 x 0 1 时 t 2x 1x 恒成立 于是转化为求 2x x1 x 0 1 的最大 值问题 令 1x 则 x 2 1 则 1 2 2x 1x 2 4 1 2 8 17 当 1 即
15、 x 0 时 2x 1x 有最大值1 t 的取值范围是t 1 6 1 解 an 的前 n 项和 Sn a1 a2 an f 1 n2 由 an Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 n 2 又 a1 S1 1 满足 an 2n 1 故 an 通项公式为an 2n 1 n N 1 12 12 limlim 1 n n a a n n n n 2 证明 f 3 1 1 3 1 3 9 1 2n 1 n 3 1 3 1 f 3 1 1 9 1 3 27 1 2n 3 n 3 1 2n 1 1 3 1 n 得 3 2 f 3 1 1 3 1 2 9 1 2 27 1 2 n 3 1 2n 1 1
16、 3 1 n f 3 1 2 1 3 1 9 1 27 1 1 3 1 n 2n 1 1 3 1 n 1 n n 3 1 nn nn nn 1212C2C1 21 3 221 n N 0 n n 3 1 1 0 1 n n 3 1 1 即 0 f 3 1 1 7 解 1 设 AB y k x 1 2 代入 x2 2 2 y 1 整理得 2 k2 x2 2k 2 k x 2 k 2 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2为方程 的两根 所以 2 k2 0 且 x1 x2 2 2 2 2 k kk 又 N为 AB中点 有2 1 x1 x2 1 k 2 k 2 k2 解得 k 1 故 AB y x 1 2 解出 A 1 0 B 3 4 得 CD的方程为y 3 x 与双曲线方程联立 消 y 有 x2 6x 11 0 记 C x 3 y3 D x4 y4 及 CD中点 M x0 y0 由韦达定理可得x0 3 y0 6 CD 104 2 43 2 43 yyxx MC MD 2 1 CD 2 10 又 MA MB 102 2 10 2 10 yyxx 即 A B C D四点到点M的
