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1、第8讲 电势 电势能本讲提纲1. 电势的概念2. 电势与场强的关系3. 电势叠加原理4. 电势分布图 本讲的概念看似深奥抽象，其实有很多相似的概念可以类比；本讲的题看似思路单一，计算简洁，但是对于物理思想方法的提炼帮助很大。 知识模块第一部分 定义概念体系引入：势的概念 势：物理学名词 potential。亦称“位”。当一个物理量只随空间变化的时，这种随着空间分布的物理量就可以叫势。比如地理图中的等高面，每个面上的点势都是一样的，表示这种高度的物理量就可以叫重力势。 物理学的核心竞争力在于更高效率的描述现实规律，我们不妨反省以上定义的行为，定义重力势（高度）的最大作用对于计算重力做功与重力作用
2、下能量变化会减少描述的步骤。所以在我们了解了电场力的性质后，我们继续研究电场力做功的特点，并定义一个类似重力势能的概念-电势能。知识点睛1电场力做功的特点在静电场中，电场力对移动电荷做功，只与始末位置有关，与电荷的运动路径无关（这一点理解不难，用点电荷的力推理一下就可以了，不过要写成严格的数学表达式有些废纸，略去了）只要在电场中初末位置、确定了，移动电荷做的功便确定了如果在电场中沿闭合路径运动一周，则电场力做功为零，这跟重力做功的情况类似。2电势差 适用于任何电场电势差与移动电荷的路径和电荷量无关，只跟两点的位置有关在电场中任何两点间的电势差都有确定的值，不能认为与成正比，与成反比 ，若，其意
3、义是点电势比点电势低，或者说点电势比点电势高3电势电场中某点的电势，等于该点与零电势点间的电势差，在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场所做的功令，则电势具有相对性，电势的数值与零点电势点的选取有关，零点电势点的选取不同，同一点的电势的数值则不同，理论研究中，通常以无限远点为零电势点，在实际处理问题中，又常取大地为零电势电势是标量，但有正负，表示各点电势的高低在规定零电势点后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值，正值表示该点电势高于零电势，负值表示该点电势低于零电势沿着电场方向，电势越来越低电场强度的方向是电势降低最快的方向4电势高低的判断方法电场线法：顺着电场线方向电势逐渐降低
4、由及来判断：若，则，若，则，若，则根据场源电荷的电场来判断：在正电荷产生的电场中，离它越近电势越高；在负电荷产生的电场中，离电荷越近电势越低根据电场力做功来判断：正电荷在电场力作用下移动时，电场力做正功，电荷由高电势处移向低电势处；正电荷克服电场力做功，电荷由低电势处移向高电势处，对于负电荷，情况恰好相反5电势能电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，通常习惯说成是电场中的电荷具有多少电势能电势能是一个相对量，其数值与零电势能的选择有关，因此确定电荷的电势能首先确定参考点，也就是零电势能位置，即电势为零的位置电势能是标量，电势能的正负仅表示大小，正值有示高于零电势能；负值有示低
5、于零电势能电场做功与电势能变化的关系：电场力对电荷做正功，电势能减少，电场力对电荷做负功，电势能增加，且电势能的改变量等于电场力做功的多少，即6.等势面的特点既然电场中我们根据其做功的特点定义了每一个点有一个电势，那么我们把电势相等的点连接就成为一个等势面。不难得出，等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面在同一等势面上移动电荷时电场力不做功不同的等势面不会相交等差等势面越密的地方，电场强度越大，即等差等势面的分布疏密可以描述电场强弱如图分别是点电荷，等量同种，等量异种电荷周围电场与电势分布。7电势与电场强度的关系在匀强电场中，沿电场强度方向的两点
6、间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积， 如果电场中两点不沿场强方向，的取值应为在场强方向的投影，即电场中两点所在的等势面的垂直距离对于非匀强场，我们只需要对局部求导即可，即：以上三个式子简便记作：。8.电势叠加原理电势和场强一样，也可以叠加因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理叠加原理原因是因为功的叠加原理是代数叠加。例题精讲【例1】 电荷面密度一样的两块“无限大”均匀带异种电的平行平板，放在与平面相垂直的x轴上的+a和a位置上，如图所示设坐标原点O处电势为零，则在ax+a区域的电势分布曲线为（ ） 【例2
7、】 如图，三根绝缘细棒构成等边三角形，棒上均匀带电，点是三角形的中心，是点相对于边的对称点，测得两点的电势分别是，现在将棒取走，并设棒上的电荷分布保持原样，试求，点的电势 【例3】 有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的Z轴上任一点p的场强与电势，则有 （ ）（A）场强相等，电势相等（B）场强不等，电势不等（C）场强分量Ez相等，电势相等（D）场强分量Ez相等，电势不等知识模块二几种常见带电体的电势分布1.点电荷周围的电势如图所示，场源电荷电量为，在离为的点处有一带电量为的检验电荷，现将该检验电
8、荷由点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将移动的整个过程理解为由移至很近的（离距离为）点，再由移至很近的（离距离为）点直至无穷远处在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为： .所以点电荷周围任一点的电势可表示为：式中为场源电荷的电量，为该点到场源电荷的距离2.可以推导一些对称分布的带电体的电势分布(1)均匀带电球壳产生的电场 设球壳的电荷量为，半径为，则: (2)均匀带电球体产生的电场 高球的电荷量为，半径为，则:例题精讲【例4】 如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，
9、= r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。 【思考】如果电荷在上面不均匀分布结论改变么【例5】 一个金属球，半径为R，本身不带电，距离球心L远处有一个点电荷q。（1） 计算球心处电势。（2） 如果LR,且已知整个球以及球的内部电势处处一样（下讲讲介绍这个结论），计算整个球的电势。【例6】 两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：当时，电势；电势为零的点的坐标, 电势为极小值的点的坐标为试根据图线提供的信息，确定1.这两个点电荷所带电荷的符号 2.电量的大小 3.它们在轴上的位置 【例7】 电荷q均匀分布在半球面AC
10、B上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。 【例8】 如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为和 ，带有净电量 ，现在其内部距球心为的地方放一个电量为的点电荷，试求球心处的电势【例9】 半径为的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势 【例10】 两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。 【例11】 在一个半径为的导
11、体球外，有一个半径为的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为，且与环面垂直，如图所示已知环上均匀带电，总电量为，且已知整个球以及内部电势处处一样，试问： 当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少? 当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何? 当导体球的电势为U时，球上总电荷又是多少? 情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何?(选讲)【例12】 图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V在离球心O很远的O点附近有一质子b，它以 Ek2000 eV 的动能沿与OO平行的方向射向a以l表示b与OO线
12、之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值 【例13】 两个异号的点电荷，其带电的大小比为，互相距离为，证明电势为的等势面为一个球面，并求该球的半径，并问什么时候该球面变成一个平面（提示，建立坐标系计算）【总结】有几个关键的推导原则，处于静电平衡的物体：1. 金属实体内部处处是等势的，如金属空腔内无电荷，则电势也处处相等。2. 两点等势，两点间一定不能有电场线，反之亦反。静电场电场线一定由正电荷发出，终止于等量异种电荷。3. 均匀带电球壳在内部处处电势一样4. 非均匀带电球壳在球心处电势等于，但并不是处处一样。计算必须巧妙实用等效原理构造。课后练习1.如图所示，半径为
13、r的金属球远离其他物体，通过R的电阻器接地。电子束从远处以速度v落到球上，每秒钟有n个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。2.半径为Ra的导体球A外，同心地放置半径分别为Rb、Rc（RcRb）的导体球壳B和C，已知A的电势为Ua，B的净电荷为零，C的净电荷为Qc，试问：（1）用导线将A和B连接后，A的电势增量U1为多少？（2）再用导线将B和C连接后，A的第二次电势增量U2为多少？3.一个半径为a的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U0，将此球靠近圆心为O1、半径为b的接地的导体球，只有球中心O位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。 学习之外库仑与库伦定律库仑，电磁学奠基人之一，于1736年6月14日出生于法国昂古莱姆在青少年时
