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1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 14 页数字电路与系统辅导资料三主 题： 第三章 逻辑代数基础（第 1-2 节）学习时间： 2013 年 10 月 14 日10 月 20 日内 容：第三章 逻辑代数基础 第一节 逻辑代数运算法则一、逻辑代数的基本定律 在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即 0 和 1，中 间值没有意义，这里的 0 和 1 只表示两个对立的逻辑状态 ，如电位的低高（0 表示低电位， 1 表示高电位）、开关的开合等。【基本逻辑】1.最基本的逻辑关系只有三种，即：与 或 非
2、2. 比如要办成一件事的条件：每个人都完成才算完成-与3. 任一人完成即算完成-或4. 完成的反面是没完成-非【基本逻辑关系】（1）“与”逻辑：A、B、C 条件都具备时，事件 F 才发生。（2）“或”逻辑：A、B、C 只有一个条件具备时，事件 F 就发生。（3）“非”逻辑：A 条件具备时 ，事件 F 不发生；A 不具备时，事件 F 发生。（4）几种常用的逻辑关系“与” 、“或” 、“非”是三种基本的 逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 14 页组合起来的逻辑简单记忆与逻辑：逻辑乘 P=AB “有 0 则 0”或逻辑：逻辑加 P=A+B “有
3、 1 则 1”非逻辑：逻辑非 P=/A “求反”与非逻辑 P=A B “全高出低、一低出高”或非逻辑 P=A + B “全低出高、一高出低 ”组合起来的逻辑简单记忆与或非逻辑 P= AB + CD异或逻辑 P=AB=AB + AB “不同为 1”同或逻辑 P=A B=AB + AB “相同为 1”总结逻辑函数的表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非- 或非表达式、与或非表达式 5 种示形式。（1）与或表达式（2）或与表达式（3）与非-与非表达式（4）或非-或非表达式（5）与或非表达式一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示
4、形式不同，但逻辑 功能是相同的。【例题 3.1】已知函数 Y 的逻辑图如图所示，写出函数 Y 的逻辑表达式。大连理工大学网络教育学院第 3 页 共 14 页【基本规律】A+0=A A+1=1A 0 =0 A=0 A 1=AA+ A = 1 A + A = AA A = 0 A A = AA = A二、逻辑代数的基本规则 【例题 3.2】 化简下式大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 14 页吸收法A. 原始变量的吸收A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A1=A化简：B. 反变 量的吸收大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 14 页【例题 3.3】 化简下式C. 混合 变量的吸收【例题
5、 3.4】 化简下式D. 反演定律利用真值表证明大连理工大学网络教育学院第 6 页 共 14 页几种规则小节【例题 3.5】 求下式的对偶和反函数第二节 逻辑函数的标准形式A 真值表：将输入、输出的所有可能状 态一一对应地列出。设 A、B、C 为输入变量，F 为输出变量。大连理工大学网络教育学院第 7 页 共 14 页B 逻辑 表达式与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非 -或非表达式、与或非表达式把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等 逻辑 运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或” 的形式。若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为最
6、小项，上式中每一项都是最小项。一、数逻辑函数的最小项及其性质 （1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为 最小项。3 个变量 A、B、C 可组成 8 个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号 mi 来表示最小项。下标 i 的确定：把最小项中的原变量记为 1，反变 量记为 0，当 变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数， 则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标 i。大连理工大学网络教育学院第 8 页 共 14 页3 个变量 A、B、C 的 8 个最小项
7、可以分别表示为：【最小项的定义】最小项是标准乘积项，设 A，B，C，D是 n 个逻辑变量，P 是 n 个变量的一个乘积，如果在 P 中，每个变量都以原变量或者反变量的形式出项一次，且仅出现一次， 则称 P 为这 n 个逻辑变量的一个最小项 。N 个变量的最小项有 2N个。例如：对 A，B，C 三变量而言，其最小项有：最小项的编号；把使最小项的值为 1 的一组变量的取 值作为编号， 对上而言，即 m0 , m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7三变量最小项列表如下：表 3-1 三变量函数的最小项及编号【最小项性质】每一个最小项与变量的一组取值相对应。只有该组取值才能使其
8、值为 1，其大连理工大学网络教育学院第 9 页 共 14 页余组下该最小项的值均为 0 。变量相同的任意两个最小项的乘积为 0 。全体最小项的和为 1 。标准与或表达式逻辑函数表达式为一组最小项之和的形式。标准与或表达式是表明 逻辑变量取何值时，该逻辑函数等于 1 。【求逻辑函数标准与或式的方法】从真值表求标准与或表达式：找出使逻辑函数 F 为 1 的变量组合；写出使 F 为 1 的变量取 值对应的最小项；将这些最小项相或。【例题 3.6】 逻辑函数真值表如图，求其标准与或式。逻辑函数的最小项表达式大连理工大学网络教育学院第 10 页 共 14 页任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之
9、和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 和 A(B+C)AB BC 来配项展开成最小 项表达式。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1 的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。将真值表中函数值为 0 的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。【例题 3.7】 请指出下式的最小项二、函数的最大项 同样地，对或- 与式来说，其 标准形式是 最大项之积 。大连理工大学网络教育学院第 11 页 共 14 页如： F（A，B，C）=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）最大项意指取值为 1 的机会最大。如果一个逻辑函数有 n 个变量，则它
10、有 个最小项，也有 个最大项。2n2n例如：F（A，B，C） 有 3 个变量，有 8 个最小项，8 个最大项每个最大项、最小项由原反变量组合而成，不好写，也不好 记，我们为它们编一个号码，最小项用小写 m，最大 项用大写 M，再加一个下标，下标的取值规律是：变量按顺序排好，原 变量为 1，反 变量为 0，取其 2 进制值【最大项的定义】最大项是标准或项，设 A，B，C，D是 n 个逻辑变量，M 是 n 个变量的和，如果在 M 中，每个变量都以原变量或者反变量的形式出项一次，且仅出现一次，则称 M 为这 n 个逻辑变量的一个最大项。 N 个变量的最大项有 2 N 个。例如：对 A，B，C 三变量
11、而言，其最大项有：最大项的编号；把使最大项的值为 0 的一组变量的取 值作为编号， 对上而言，即m0 , m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 , m7三变量最大项列表如下：大连理工大学网络教育学院第 12 页 共 14 页三变量最大项真值表如下：【最大项的性质】(1)、每一个最大项与变量的一组取值相对应。只有该组取值才能使其值为 0，其余组下该最大项的值均为 1 。例如： 对应于 0、1、0 ，此时 M2 =0(2)、变量相同的任意两个最大项之和为 1 。(3)、全体最大项的乘积为 0大连理工大学网络教育学院第 13 页 共 14 页标准或与表达式标准或与表达式：每个或项都
12、是最大项的或与表达式求标准或与表达式的方法从真值表：(a)、找出真 值表中 F=0 的行；(b)、对 F=0 的行，写出对应的最大项；(c)、所有最大项相与。【例题 3.8】 求如图对应的标准或与式最大项与最小项之间的关系【例题 3.9】 求出下式的最大、最小项Y(A,B,C)=AB+BC解：大连理工大学网络教育学院第 14 页 共 14 页本周要求掌握的内容如下：掌握逻辑代数的运算法则、基本规则以及采用公式；了解逻辑函数的标准形式。 习题：一、选择题1、有一逻辑变量 Z 的定义为 “运算结果为 0”，则 Z=1 表示_。A. 结果等于 0 B. 结果不等于 0 C. 结果等于 1 D. 结果无法确定2、F=(A+/B)(A+/C)的对偶式是_。A./AB+/AC B.A/B+A/C C.(/A+B)(/A+C) D.(/A+/B)(/A+/C)3、F(A,B,C)=ABC+/ABC+A/BC=_。A. m(0，2，4) B. m(3，5，7) C. m(1，3，5) D. m(4，5，7)二、填空题1、函数(A/B+C)D+/EF 的对偶式是 反演式是 。答：(A+/B)C+D/E+F (/A+B)/C+/DE+/F
