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1、高一数学向量数量积典型例题高一数学向量性质描述的判断例1已知、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）；、反向；A1 B2 C3 D4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则中，由及、为非零向量可得，或，且以上各步均可逆，故命题是真命题中若、反向，则、的夹角为，且以上各步均可逆，故命题是真命题中当时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有反过来，若，则以、为邻边的四边形为矩形，所以有，因此命题是真命题中当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出故
2、命题是假命题 答案：C小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或）；而反向时，夹角为（或）；两向量垂直时，夹角为因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来若两向量的夹角为0或，则两向量共线 （2）对于命题我们可以改进为：既不是的充分条件也不是必要条件利用定义求向量的数量积例1已知，当（l）（2），（3）与的夹角为时，分别求与的数量积。分析：已知与，求，只需确定其夹角，须注意到时，有和两种可能。解：（1），若与同向，则， ；若与反向，则， ，（2）当时， ，（3）当与的夹角为时，. 小结：（1）对于数量积，其中 的取值范围是； （2）非零向量和，；（3）非零向量和共线的充要条件是 向量数量积的运算例1、
3、已知向量为相互垂直的单位向量，那么分析：应先求出，再计算解：由已知 得 得 故 小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或求解向量的夹角例1、已知不共线向量，且向量与垂直求：与的夹角的余弦值分析：由向量数量积定义知，所以需求之值由已知得，从中可求得之值解：垂直，根据向量数量积的运算律得，即为所求小结：非零向量是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知，与夹角为，问当取何值时，与垂直，由可求得向量垂直时的参数值例1已知 ，当时，求实数的值分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解解：，即，把，代入式，得小结
4、：通过向量垂直两向量的数量积为0，建立等式将向量问题转化为方程求解向量垂直的证明例1 已知非零向量和夹角为，且，求证： 分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零证明：因为和夹角为，所以；又因为，所以，即，即因为，把代入上式消去得所以小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积的有关知识解决问题向量垂直例1、已知向量为相互垂直的单位向量，设 ，则分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件解：由题设可知 ， 由，得，即 ，得小结：解决本题时，应注意另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即 ，再运用向量垂直的充要条件求出m的值求向量夹
5、角的余弦例1设，则与的夹角的余弦值为分析：要求夹角需先求出的值。解：，把代入得由 ，得于是小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质以及有关运算律，体现了较强的综合性判断四边形形状例1、 平面四边形中，且例2、 ，判断四边形的形状分析：在四边形中可知，故，两边平方后，根据题设可得四边形边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状证明：由四边形可知，（首尾相接），即展开得，同理可得（1）（2）得，即，故四边形是平行四边形.由此，又，即即故四边形是矩形小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度（模）和角有关如用向量证明等腰三角
6、形底边上的中线垂直于底边如图所示，为等腰三角形，为底边的中点设，故，命题成立.利用向量垂直证明平面几何垂直问题例1 如图，已知中，是直角，是的中点，是上的一点，且. 求证：. 分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明. 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，则. 所以 . 小结：用向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的形式，再通过相应的向量运算完成证明，不难发现，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题，利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。已知平行四边形对角线一半的数量积例1、 如图所示，已知平行四边形， ，求：. 分析：根据向量数量积定义
7、，来求显然不行，因为，都无法确定怎么办呢？由于，而，由此，从而可求得.解：为平行四边形，根据向量的加、减法法则知：，点为平行四边形对角线、的交点，即为、的中点，.小结：（1）通过本题我们看到了与的夹角无关，只与、有关（2）直接应用向量数量积的定义，本题无法求，而把问题转移一下，用间接的方法来解决此问题，这是数学中常用的方法（3）与不共线时，与垂直的充分条件是.怎样用平面向量的数量积处理有关垂直的问题？例2如图568，已知AD、BE、CF是ABC的三条高图568求证：AD、BE、CF相交于一点证明：设BE、CF相交于H，并设b，c，h，则hb，hc，cb，（hb）c0，（hc）b0（hb）c（h
8、c）b化简得：h（cb）0， AH与AD重合，AD、BE、CF相交于一点H怎样用平面向量的数量积处理有关长度及夹角的问题？例3若向量a3b与7a5b垂直，并且向量a4b与7a2b垂直，求非零向量a与b的夹角分析：本题考查向量的综合运算能力和逻辑思维能力解：由已知，得即158，得161a2161b20，故|a|b|设向量a与b的夹角为，由，得30|a|b|cos7|a|28|b|2 将式代入上式，得cos，故60，即a与b的夹角为60怎样用向量运算的几何性质证明几何问题？例4已知ABCD是平行四边形求证：|2|22（|2|2）证明：设a，b，则ab，ba，于是|2|2|ab|2|ba|2（ab）
9、2（ba）22（a2b2）2（|2|2）评注：这是一个重要的平面几何结论，证法很多，都不如向量法来得简捷例5已知cmanb，ac，bc4，又b与c的夹角为120，|a|2，|c|4，求m，n的值及a与b的夹角分析：充分利用ac0的条件解：由已知cmanb（*）（*）的两边同乘以c，则|c|2macnbc即164n，n4（*）的两边同乘以a，则acma24ab即08m4ab，ab2m（*）的两边同乘以b，则bcmab4b2而由已知4bc|b|c|cos1202|b|b|24mab16，mab12又ab2m，m26，m于是ab2|a|b|coscos，30或150n4，m，a与b的夹角为30或15
10、0评注：“同乘”一个向量，运用已知条件得方程，是一种构造法思想【同步达纲训练】1设e1、e2是两个单位向量，那么下列命题中正确的是（）Ae1e2 Be1e21 Ce12e22 De1e22设a、b、c是非零向量，则（ab）c是（）A数量 B与a共线的向量 C与c共线的向量 D无意义3已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于（）AB CD14已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，且ba与a垂直，则_5已知非零向量a、b，则ab垂直于ab的充要条件是_6已知|a|13，|b|19，且|ab|24，求|ab|的值【同步达纲训练】一、1C e12|e1|21，e22|e2|21，e12e222C abR3A （3a2b）（ab）3|a|23ab2ab2|b|212180，二、42 a（ba）（ab）|a|2|a|b|cos45|a|2240，25|a|b| （ab）（ab）（ab）（ab）0a2b2|a|b|三、6解：（ab）2|ab|2，a22abb2|ab|2，即1692ab361576，2ab46故|ab|22用心 爱心 专心 115号编辑 9
