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1、二项式定理题型荟萃 二项式定理 二项式展开的通项 复习旧知 第项 性质复习 性质1在二项展开式中 与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等 性质2 如果二项式的幂指数是偶数 中间一项的二项式系数最大 如果二项式的幂指数是奇数 中间两项的二项式系数最大 性质3 性质4 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和 题型一利用通项求符合要求的项或项的系数 例1求展开式中的有理项 解 令 原式的有理项为 解 设第项为所求 的系数为 分析 第k 1项的二项式系数 第k 1项的系数 具体数值的积 解 求二项展开式的某一项 或者求满足某种条件的项 或者求某种性质的项 如含有x项的
2、系数 有理项 常数项等 通常要用到二项式的通项求解 注意 1 二项式系数与系数的区别 2 表示第项 3 例题点评 题型2二项式定理的逆用 例4计算并求值 解 1 将原式变形 题型2二项式定理的逆用 例5计算并求值 解 2 原式 例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点 也是重点 只有熟练掌握公式的正用 才能掌握逆向应用和变式应用 题型3求多项式的展开式中特定的项 系数 解 仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是 解法2 运用等比数列求和公式得 在的展开式中 含有项的系数为 所以的系数为 20 例7 求展开式中的系数 解 可逐项求得的系数 的展开式通项为 当时 系数为 的展开式通项为
3、当时 系数为 所以展开式中的系数为 的展开式通项为 当时 系数为 4 求复杂的代数式的展开式中某项 某项的系数 可以逐项分析求解 常常对所给代数式进行化简 可以减小计算量 例题点评 题型4求乘积二项式展开式中特定的项 特定项的系数 例题8 求的展开式中项的系数 例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算 题型5 求展开式中各项系数和 解 设 展开式各项系数和为 1 例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法 令二项式中的字母为1 上式是恒等式 所以当且仅当x 1时 2 1 n 2 1 n 1 例9 的展开式的各项系数和为 题型6 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 1 2
4、 题型6 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 所以 3 例题点评 求二项展开式系数和 常常得用赋值法 设二项式中的字母为1或 1 得到一个或几个等式 再根据结果求值 题型7三项式转化为二项式 解 三项式不能用二项式定理 必须转化为二项式 再利用二项式定理逐项分析常数项得 1107 240 题型8求展开式中系数最大 小 的项 解 设项是系数最大的项 则 二项式系数最大的项为第11项 即 所以它们的比是 解决系数最大问题 通常设第项是系数最大的项 则有 由此确定r的取值 例题点评 注意 系数最大的项 不一定就是二项式系数最大的项 系数最值问题使用的是递推法 比较Tr Tr 1 Tr 2 补例13
5、1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大和系数最大的项 题型9整除或余数问题 例14 解 前面各项均能被100整除 只有不能被100整除 整除性问题 余数问题 主要根据二项式定理的特点 进行添项或减项 凑成能整除的结构 展开后观察前几项或后几项 再分析整除性或余数 这是解此类问题的最常用技巧 余数要为正整数 例题点评 这道题仍可以用二项式定理解 为了把左式与右式发生联系 将3换成2 1 注意到 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 n 2 n 2 右式至少三项 这样 可以得到3n 2n 1 n 2 n N 且n 2 求证 3n 2n 1 n 2 n N 且n 2 巩固练习 一选择题 1 04福建 已知展开式的常数项是1120 其中实数是常数 则展开式中各项系数的和是 C B 3 被4除所得的系数为 A 0B 1C 2D 3 A 展开式中的系数是 2被22除所得的余数为 1 35 3已知展开式中的系数是56 则实数的值是 或 二填空题 4 设二项式展开式的各项系数的和为P 二项式系数的和为S 且P S 272 则展开式的常数项为 108 1求展开式中含一次幂的项 45x 3在的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 三计算题
