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1、数学世界三大难题（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）古代数学史上有世界三大难题:要求只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规进行几何作图：三等分角问题：三等分一个任意角；立方倍积问题：求作一个立方体，使它的体积是一个已知立方体的体积的两倍；化圆为方问题：求作一个立方体，使它的体积是一个已知圆的面积。这是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题许多学者都致力于这三个问题的研究，企图用尺规作图来解决这些问题，但一直未获成功，直到1887年万其尔首先证明“三等分角”和“立方倍积”都是尺规不能问题。1882年，林德曼证明了是超越数，从而也证明了“化圆为方”是尺规不能问题。近代数学
2、史又有“第五公设”、“费马大定理”、“任一大偶数表示两素数之和”。这些都已为前人攻破的攻破，将突破的将突破。现代发达国家的数学家们又在钻研什么呢？21世纪数学精英们又攻什么呢？现代数学上的三大难题：一是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗？ 二是相邻两国不同着一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。 三是任三人中可证必
3、有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）。 近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。（如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题；十八个点用两色连必出现单色四边形；两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。）单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。 归纳为“20棵树植树问题”，“四色绘地图问题”，“单色三角形问题”。通称现代数学三大难题。 附：数学难题与世纪同行的二十棵树植树问题 数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享
4、誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪，伴随人类文明几个世纪，点缀装饰于高档工艺美术的百花丛中，美丽经久不衰、与日俱增且不断进步，不断发展，在人类文明的进程中更加芬芳娇艳，更加靓丽多采。 20棵树植树问题，源于植树，升华在数学上的图谱学中，图谱构造的智、巧、美又广泛应用于社会的方方面面。20棵树植树问题，简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植（组排），才能使行数更多？ 20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术（图1）。进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能
5、见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱（图2）。 进入20世纪，电子计算机的高速发展方兴未艾，电子计算机的普及和应用在数学领域中也大显身手，电子计算机绘制出的数学图谱更是广泛应用于工艺美术、建筑装饰和自然科学领域。数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。在二十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图3）。乌飞兔走，星移斗换。今天，人类已经从20世纪跨入了21世纪的第一个年代。20棵树植树问题又被数学家们从新提出：跨入21世纪，20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。国外有人曾以二十万美金设奖希望能有新的突破，随着高科技的与日俱进和更新发展，期望将来人类的聪明智慧与精明才干能突破现在20行的世界纪录，让20棵树植树问题能有更新更美的图谱问世，扮靓新的世纪。- 3 -
