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1、高考数学专题复习18概率、统计高考在考什么【考题回放】1甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的( B ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ C ） A B C D3某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 (结果用分数表示)4一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向
2、上的数之积的数学期望是5某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为 （ D ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）46某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列【专家解答】（）记“射手射击1次，击中目标”为事件，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率 （）射手第3次击中目标时，恰好射
3、击了4次的概率（）由题设，“”的概率为（且） 所以，的分布列为：34kP高考要考什么【考点透视】等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差【热点透析】1相互独立事件同时发生的概率,其关键是利用排列组合的内容求解m，n2独立重复试验，其关键是明确概念，用好公式，注意正难则反的思想3离散型随机变量的分布列、期望和方差，注意取值的完整性以及每一取值的实际含义突破重难点【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等
4、品，其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率解(1), , 所以的分布列为0123P的数学期望E()= (2) P()=【点晴】本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。【变式】袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变
5、量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则【范例2】某运动员射击一次所得环数的分布如下：6789100p现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为(I)求p；(II)求该运动员两次都命中7环的
6、概率()求的分布列解：()p=1-03-03-02=02()求该运动员两次都命中7环的概率为；()的可能取值为7、8、9、10 分布列为78910P004021039036【点晴】本题已知分布列逆求其他事件的概率和分布列，注意利用分布列的性质用于验证答案或求最后一个事件的概率，例如。【变式】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球两甲，乙两袋中各任取2个球()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4
7、个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件由题意，得 所以，化简，得解得，或（舍去），故 【点晴】本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出n是该题的关键。【范例3】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望E解: ()记甲投篮1次投进为事件A1 ， 乙投篮1次投进为事件A2 ， 丙投篮1次投进为事件A3，3人都没有投进为事件A 则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ， P(A) = P()=P()P()P() = 1P(A1) 1P (A2) 1P
8、(A3)=(1)(1)(1)=3人都没有投进的概率为 ()解法一: 随机变量的可能值有0，1，2，3， B(3， )， P(=k)=C3k()k()3k (k=0，1，2，3) ， E=np = 3 = 解法二: 的概率分布为:0123PE=0+1+2+3= 【点晴】已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。【变式】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)若安检不合格,则必须进行整改若整改后经复查仍不合格,则强行关闭设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿
9、整改前安检合格的概率是05,整改后安检合格的概率是08,计算(结果精确到001):()恰好有两家煤矿必须整改的概率;()平均有多少家煤矿必须整改;()至少关闭一家煤矿的概率解：（）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是（）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,05)从而的数学期望是 E，即平均有250家煤矿必须整改()某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是【点晴】注意n次独立重复
10、试验的条件、公式的记忆以及二项分布的期望结论，另外至多、至少等概率问题常使用正难则反的思想运用。【范例4】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小（说明理由）解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ABACBCAB
11、C，设其概率为P1，则P1ab（1c）a（1b）c（1a）bcabcabacbc2abc设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2abacbc（2）P1P2（abacbc2abc）（abacbc）abacbc2abc（abacbc3abc） ab (1-c)ac(1b)bc(1a) 0P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率【点晴】本题作为含有字母的概率问题，增加了一定的难度，问题（）又运用了不等式作差的方法比较两期望的大小。【变式】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是12万元、118万元、117万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,
12、在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是13万元、125万元、02万元随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围【解析】(I)解法1: 的概率分布为12118117PE=12+118+117=118由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为1312502P所以的数学期望为E=+=解法2: 的概率分布为12118117PE=12+118+117=118设表示事件”第i次调整,价格下降”
13、(i=1,2),则P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布为1312502P所以的数学期望为E=+=(II) 由,得: 因0p1,所以时,p的取值范围是0p03【点晴】本小题考查二项分布、分布列、数学期望以及与不等式等其他知识的综合应用,考查了运用概率知识解决实际问题的能力自我提升1在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ A ）A B C D2某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ C ）A2 B3 C5 D133将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A ）A. a=105 p= Ba=105 p= Ca=210 p= Da=210 p
