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1、 高二数学同步测试直线与圆锥曲线(3)一选择题1过点(2，4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有（）A1条 B2条C3条 D4条2设椭圆1的长轴两端点为M、N，异于M、N的点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为（）ABCD3双曲线x2y21的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是（）A(，0)B(1，)C(，0)(1，)D(，1)(1，)4若双曲线x2y21的右支上一点P(a，b)到直线yx的距离为，则ab的值为（）AB CD25曲线yx2x12与x轴相交，则两交点间的距离为（）A8 B0 C7 D1二填空题6一个正三角形的顶点都在抛物
2、线y24x上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是_7已知(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_8过椭圆3x24y248的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若AB7，则此直线的方程为_9已知双曲线x21，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_三解答题10、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.1、 已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的
3、直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.12、如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.13、(2004年北京春卷18) 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （I）写出该抛物
4、线的方程和焦点F的坐标； （II）求线段BC中点M的坐标；（III）求BC所在直线的方程14、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明15、(2004年全国卷21)设椭圆的两个焦点是与(c0),且椭圆上存在点P,使得直线PP1与直线PF2垂直. ()求实数m的取值范围; ()设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q , 若求直线PF2
5、的方程.16、(2004年湖北卷)直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B（）求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值若不存在，说明理由17求过点(0，2)的直线被椭圆x22y22所截弦的中点的轨迹方程18已知抛物线C：yx2mx1，点A(3，0)，B(0，3)，求C与线段AB有两个不同交点的充要条件(用m的取值范围表示)19如图84，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r) (br0)图84()写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；()直线yk1x交椭圆于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(
6、y20)；直线yk2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y40)求证：；()对于()中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q求证：|OP|OQ|(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力20.已知双曲线x21与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点(1)求直线AB的方程(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦21.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线xy10相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程22.在抛物线y24x上恒
7、有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围23.以椭圆1(a1)的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由24.已知椭圆的一个焦点F1(0，2)，对应的准线方程为y，且离心率e满足：，e，成等比数列(1)求椭圆方程；(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x平分若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由直线与圆锥曲线(3)参考答案一选择题1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 二填空题6.48 7.x2y80 8.y(x2) 9
8、.6三解答题10.解:由题意，可设l的方程为y=x+m,5m0, 由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N， 方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0) , 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4, 点A到直线l的距离为d=. S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号.故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 .11.解:(1)当直线l的斜率不
9、存在时，l的方程为x=1,与曲线 1C .当l的斜率存在时， 设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 ()当2k2=0,即k=时，方程 有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程 有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程 无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，
10、l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=2 , 2(x1x2)=y1y1 , 即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法. (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=
11、|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 (x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.(3)解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得 , 得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2) 将 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0) 即k=y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由点P(4，y0)在
12、线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m.解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为yy0=(x4)(k0) , 将代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解析得k=y0.(当k=0时也成立)(以下同解析法一).13.解: （I）由点A（2，8）在抛物线上，有, 解得. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0） （II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 解得 所以点M的坐标为（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由（II）的结论得 , 解得 ,因此BC所在直线的方程为 即 .14.解:（1）由题意，可设椭圆的方程为由已知得 解得. 所以椭圆的方程为，离心率（2）解由（1）可得A（3，0）设直线PQ的方程为由方程组 得依题意，得设，则 ， 由直线PQ的方程得于是 ， 由、得，从而所以直线PQ的方程为或（3）证明：由已知得方程组 注意，解得 因，故 而，所以.15.解:() 由题设有m0， .设点P的坐标为由得, 化简得 将与联立,解得 由m0. 得m1. 所以m的取值范围是m1.()准线L的方程为设点Q的坐标为则
