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1、用心 爱心 专心 高二数学函数的概念与解析式高二数学函数的概念与解析式苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数的概念与解析式 二 教学目的 通过丰富的实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 在 此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中的作用 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 三 教学重点 函数的概念与解析式 教学难点 分段函数与实际应用 知识点归纳 1 函数的定义
2、设A B是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为从 集合A到集合B的一个函数 记作y f x x A 其中x叫做自变量 x的取值范围A叫 做函数的定义域 与x的值相对应的y的值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做 函数的值域 2 两个函数的相等 函数的定义含有三个要素 即定义域A 值域B和对应法则f 当函 数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后 函数的值域也就随之确定 因此 定义 域和对应法则为函数的两个基本条件 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同 时 这两个函数才是同一
3、个函数 3 映射的定义 一般地 设A B是两个集合 如果按照某种对应关系f 使对于集合 A中的任何一个元素 在集合B中都有唯一的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集 合A B 以及集合A到集合B的对应关系f 叫做集合A到集合B的映射 记作f A B 由映射和函数的定义可知 函数是一类特殊的映射 它要求A B非空且皆为数集 4 映射的概念中象 原象的理解 1 A 中每一个元素都有象 2 B 中每一个元素不一 定都有原象 不一定只有一个原象 3 A 中每一个元素的象唯一 5 分段函数 举一例 6 复合函数 若 y f u u g x x a b u m n 那么 y f g x 称为复合函数 u
4、 称为中间变量 它的取值范围是 g x 的值域 7 函数的三种表示法 1 解析法 就是把两个变量的函数关系 用一个等式来表示 这个等式叫做函数的 解析表达式 简称解析式 2 列表法 就是列出表格来表示两个变量的函数关系 用心 爱心 专心 3 图象法 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 8 求函数解析式的题型有 1 已知函数类型 求函数的解析式 待定系数法 2 已知求或已知求 换元法 配凑法 f x f g x f g x f x 3 已知函数图像 求函数解析式 4 满足某个等式 这个等式除外还有其他未知量 需构造另个等式解 f x f x 方程组法 5 应用题求函数解析式常用方法有待定系数法
5、等 典型例题典型例题 例 1 设集合 如果从到的映射满足条件 1 0 1 M 2 1 0 1 2 N MNf 对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数 则映射的个数是 MxN f xfD A 8 个B 12 个C 16 个D 18 个 解 解 为奇数 当为奇数 时 它们在中的象只能为偶数 xf x x1 1N2 或 由分步计数原理和对应方法有种 而当时 它在中的象为奇数02 2 39 0 x N 或 共有种对应方法 故映射的个数是 故选 D 1 12f9 218 变式 集合A 3 4 B 5 6 7 那么可建立从A到B的映射个数是 从B到A的映射个数是 解 解 从A到B可分两步进行 第一步A中的
6、元素 3 可有 3 种对应方法 可对应 5 或 6 或 7 第二步A中的元素 4 也有这 3 种对应方法 由乘法原理 不同的映射种数 N1 3 3 9 反之从B到A 道理相同 有N2 2 2 2 8 种不同映射 答案 答案 9 8 例 2 试判断以下各组函数是否表示同一函数 1 f x g x 2 x 33 x 2 f x g x x x 01 01 x x 3 f x g x 2n 1 n N N 1212 nn x 12 n x 4 f x g x x1 xxx 2 5 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 剖析 剖析 对于两个函数y f x 和y g x 当且仅当它们的定义域
7、值域 对应法则 都相同时 y f x 和y g x 才表示同一函数 若两个函数表示同一函数 则它们的图 象完全相同 反之亦然 解 解 1 由于f x x g x x 故它们的值域及对应法则都不相 2 x 33 x 同 所以它们不是同一函数 2 由于函数f x 的定义域为 0 0 而g x x x 的定义域为 R R 所以它们不是同一函数 01 01 x x 3 由于当n N N 时 2n 1 为奇数 f x x g x 1212 nn x 12 n x 2n 1 x 它们的定义域 值域及对应法则都相同 所以它们是同一函数 4 由于函数f x 的定义域为 x x 0 而g x 的定义x1 xxx
8、 2 用心 爱心 专心 域为 x x 1 或x 0 它们的定义域不同 所以它们不是同一函数 5 函数的定义域 值域和对应法则都相同 所以它们是同一函数 评评述述 1 第 5 小题易错判断成它们是不同的函数 原因是对函数的概念理解不透 要知道 在函数的定义域及对应法则f不变的条件下 自变量变换字母 以至变换成其他字 母的表达式 这对于函数本身并无影响 比如f x x2 1 f t t2 1 f u 1 u 1 2 1 都可视为同一函数 2 对于两个函数来讲 只要函数的三要素中有一要素不相同 则这两个函数就不可 能是同一函数 例 3 某种细胞分裂时 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个
9、一直分裂下去 1 用列表表示 1 个细胞分裂 1 2 3 4 5 6 7 8 次后 得到的细胞个数 2 用图像表示 1 个细胞分裂的次数n n N N 与得到的细胞个数y之间的关系 解解 1 利用正整指数幂的运算法则 可以算出 1 个细胞分裂 1 2 3 4 5 6 7 8 次后 得到的细胞个数 列表如下 分裂次数 12345678 细胞个数 248163264128256 2 细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y 2n n N N 变式 一种专门占据内存的计算机病毒 开机时占据内存KB 然后每分钟自身复制一次 23 复制后所占内存是原来的倍 那么开机后经过 分钟 该病毒占据MB 内存264
10、 MB KB 1 10 2 例 4 某厂生产一种仪器 由于受生产能力和技术水平的限制 会产生一些次品 根据 经验知道 该厂生产这种仪器 次品率与日产量 件 之间大体满足关系 Px 其中 c 为小于 96 的正常数 3 2 1 96 1 Nxcx Nxcx x P 注 次品率 如表示每生产 10 件产品 约有 1 件为次品 其余为 生产量 次品数 P0 1P 合格品 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元 但每生产一件次品将亏损元 故厂方希 2 A 望定出合适的日产量 1 试将生产这种仪器每天的盈利额 元 表示为日产量 件 的函数 Tx 2 当日产量为多少时 可获得最大利润 解 解 1 当时 所以
11、 每天的盈利额 xc 2 3 P 12 0 332 A TxAx 当时 1xc 1 96 P x 所以 每日生产的合格仪器约有件 次品约有件 故 每天的 1 1 96 x x 1 96 x x 盈利额 用心 爱心 专心 A x x x A x x xA x T 96 2 3 296 1 96 1 1 综上 日盈利额 元 与日产量 件 的函数关系为 Tx 3 1 2 96 0 x xAxc Tx xc 2 由 1 知 当时 每天的盈利额为 0 xc 当时 1xc TA x x x 96 2 3 令 则 96xt 09695ct 故A t tA t t tT 144 2 1 97 2 96 3 9
12、6 1144147 9720 22 tAA t 当且仅当 即时 等号成立 144 t t 84 12 xt即 所以 i 当时 等号当且仅当时成立 84 c max 147 2 TA 84 x ii 当时 由得 841 c1xc 129695ct 易证函数在上单调递增 证明过程略 144 g tt t 12 t 所以 96g tgc 所以 1144 97 2 TtA t 2 1144144 1892 97960 2961922 cc cAA cc 即 等号当且仅当时取得 2 max 144 1892 1922 cc TA c xc 综上 若 则当日产量为 84 件时 可获得最大利润 若 则当96
13、84 c841 c 日产量为时 可获得最大利润 c 点评 点评 分段函数是历年高考的热门话题 常考常新 值得我们在复习时认真对待 例 5 矩形的长 宽 动点 分别在 上 且ABCD8AB 5AD EFBCCD 1 将的面积表示为的函数 求函数的解析式 CECFx AEF Sx f x Sf x 2 求的最大值 S 解 解 1 ABCDCEFABEADF Sf xSSSS A 2 111 408 5 5 8 222 xxx 22 113113169 22228 xxx 用心 爱心 专心 CECBCD 05x 函数的解析式 Sf x 2 113169 05 228 Sf xxx 2 在上单调递增
14、f x 0 5x 即的最大值为 max 5 20Sf S20 例 6 函数对一切实数 均有成立 且 f xxy 21 f xyf yxyx 1 0f 1 求的值 0 f 2 对任意的 都有成立时 求的取 1 1 0 2 x 2 1 0 2 x 12 2logaf xx a 值范围 解 解 1 由已知等式 21 f xyf yxyx 令 得 1x 0y 1 0 2ff 又 1 0f 0 2f 2 由 21 f xyf yxyx 令得 0y 0 1 f xfxx 由 1 知 0 2f 2 2f xxx 1 1 0 2 x 在上单调递增 2 2 1111 11 2 24 f xxxx 1 1 0 2
15、 x 1 3 2 0 4 f x 要使任意 都有成立 1 1 0 2 x 2 1 0 2 x 12 2logaf xx 当时 显然不成立 1a 2 1 loglog 2 aa x 当时 解得01a 2 1 loglog 2 aa x 01 13 log 24 a a 3 4 1 4 a 的取值范围是 a 3 4 1 4 例 7 1 已知 求 3 3 11 f xx xx f x 2 已知 求 2 1 lgfx x f x 3 已知是一次函数 且满足 求 f x3 1 2 1 217f xf xx f x 4 已知满足 求 f x 1 2 3f xfx x f x 解 解 1 33 3 1111
16、 3 f xxxx xxxx 用心 爱心 专心 或 3 3f xxx 2x 2x 2 令 2 1t x 1t 则 2 1 x t 2 lg 1 f t t 2 lg 1 1 f xx x 3 设 0 f xaxb a 则3 1 2 1 333222f xf xaxabaxab 5217axbax 2a 7b 27f xx 4 1 2 3f xfx x 把 中的换成 得 x 1 x 13 2 ff x xx 得 2 3 3 6f xx x 1 2f xx x 注 第 1 题用配凑法 第 2 题用换元法 第 3 题已知一次函数 可用待定系 数法 第 4 题用方程组法 例 8 某市收水费的方法是 水费 基本费 超额费 耗损费 若每月用水量不超过最低限 量 am3时 只付基本费 8 元及每户每月的定额耗损费 c 元 若用水量超过 am3时 除了付同 上的基本费和耗损费之外 超过部分每 m3付 b 元的超额费 已知耗损费不超过 5 元 该市一家庭今年一月 二月 三月份的用水量和支付费用如下表所示 月份用水量水费 一月 9m3 9 元 二月 15m3 19 元 三月 22m3 33 元 根据上面表
