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1、关于三角形的“四心”与平面向量的结合关键字高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心内容摘要每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.一、 基础知识复习1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三
2、角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、 典型例题分析例已知点G是内任意一点,点 M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出问题(1)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能
3、通过的_.(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的_.思路分析以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.解答过程(1)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由,得,(关键点) 于是.从而,
4、点G是高线上的点,故应填垂心.教师点评以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.三、 综合运用提出问题若O点是的外心, H点是的垂心,且,求实数m的值.思路分析许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.解答过程由,得,于是,(关键点) 即,由题意,知,及,从而,其中,因此.教师点评请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.举一反三通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若点为内任意一点，若点满足:1;2.两点分别是的边上的中点,且;3. ;4. .- 4 -
