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1、江苏省如皋市2017届高三数学上学期教学质量调研试题（三）（扫描版，含附加题）2016-2017学年度高三年级教学质量调研（三）理科数学附加题21. 已知数列 满足（1） 求 并猜想出数列的通项公式；（2） 用数学归纳法证明（1）的猜想20162017学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）参考答案及评分标准1 2 -1 3 43 5 6 1 7 5 81269 -2 10 11 12 13 17 14 15解：（1）在中，由，且得，. 2分所以=. 6分（2）由，且得，. 8分所以=. 10分又，所以， 12分在中，由正弦定理得，. 14分（评讲建议：将第（2）改成求）16解： 记圆锥的底面
2、半径为，母线长为，由题意，故 2分（1）因为，所以. 6分（2）记，而， 8分当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以，是的极小值点，也是最小值点，故. 10分因此，当时，. 12分答：当锥形漏斗的高时，侧面用料最省为 14分17解： 由题意，两点的坐标为. 2分（1）设点的坐标为，则有，且，. 4分由已知得， 6分解得，或 ，即的坐标为或. 8分（2）设点的坐标为，则，且，. 10分所以=. 12分故，当时，取最小值1. 14分18解：（1）由得，两边平方，从而得到，则有，即，即证. 2分（2）证明：联立得，则 ；(*) 4分同理， . (*) 6分由得，代入（*）得，.所以，=. 8分由得
3、，和，从而由(*)得.由题意可设直线的方程为：， 10分设点和的坐标分别为和联立，得，则，. 12分=. 14分由得，即. 16分（评讲建议：条件“椭圆，的离心率均为”是为了简化计算而设计的，实际上最后的结果与其无关，若用焦半径公式直接求弦长更简洁，但需要证明焦半径公式才能使用）19（1）证明：因为数列为等差数列，设（为常数，），即， 2分当时，又，符合上式，所以， 4分则（常数），所以，数列为等差数列. 6分（2）解：因数列均为等比数列，则有和均成等比，即 ， 8分亦即，解得或. 10分 若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而，此时，故数列也为等比数列，符合题意. 12分若，则
4、数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而， 14分当时，从而，故数列不为等比数列，不符合题意.综合可知，. 16分20（1）解：当时，所以， 当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减 2分（2）证明：记，由题意即证，当时， 又， 4分记，则，故在上单调递减，则， 6分所以在上恒成立，则在上单调递减，即证 8分（3）解：由题意，若，则，故在上单调递增，又因为，且由零点存在定理知，在上有且只有一个零点 10分 若，当，则在上单调递增；当，则在上单调递增所以，是在上的极大值点，也是最大值点，（i）当时，即，恒成立，则在上无零点；（ii）当时，即，则在上有一个零点；（iii）当时，即， 12
5、分而当时，有，理由如下：令，则，所以在上单调递增，即，由（2）知，而，由在上的单调性及零点存在定理知，分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点14分综上所述，当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点；当时，在上没有零点16分附加题参考答案及评分标准21 解： （1）由，同理可求，猜想 -5分（2）证明：当时，猜想成立.假设当时，猜想成立，即，则当时，有，所以当时猜想成立综合，猜想对任何都成立. -10分评卷注意：在归纳如果没有扣1分.22解：（1）直线的方程为：，椭圆的方程为：4分（2）设，联立得，则有，所以 10分23解：（1）记“线路通畅”为事件，则事件包含或两种事件，且它们互斥，因为；所以 4分（2）由题意，可能的取值为5,6,7,8,9，； 8分其分布表如下：56789所以，的数学期望为： 10分24（1）记展开式的第项为当为奇数时，中间项为和，当为偶数时，中间项为 2分（注：没有分奇偶讨论，本问不得分）（2）由题意， 在等式两边分别对求导，得： ， （*）令，则有，所以 （*） 4分再在（*）两边分别对求导，得 6分再令，则有；由（*）得， 8分所以，= 10分13
