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1、高三数学解析几何教学中应渗透平面向量方法http:/www.DearEDU.com武山县第三高级中学 王建华平面向量是高中数学教材改革新增加的内容之一，它是既有大小，又有方向的一个几何量.也就是说，平面向量既能像实数一样进行运算，也有直观的几何意义，是数与形的有机结合，可灵活实现形与数的相互转化.平面向量理论渗透在解析几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题，其方法是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理、求解问题转化为向量运算，完全变成了代数问题.一、确定直线的两个重要向量1、直线的方向向量P1P2xOyx我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行的向
2、量都称为直线的方向向量.如图1，由P1（x1 , y1）、P2（x2 , y2）确定直线P1P2 的方向向量是P1P2 =（x2 - x1 , y2 - y1）.当直线P1P2与x轴不垂直时有x2x1 , 这时直线的斜率为图1 而向量 P1P2也是直线P1P2的方向向量，它的坐标是（x2 - x1 , y2 - y1）.即(1,k) 就是直线P1P2的方向向量,其中k是直线P1P2的斜率. 2、直线的法向量和直线垂直的向量都称为该直线的法向量.如图2,设直线l有法向量n=(A,B),且经过点P0(xo,yo),取直线l上任一点P(x,y),满足nP0P,因为 P0P=（x xo , y yo）
3、,根据向量垂直的充要条件得lxPnyA（x xo）+B( y yo) = 0P0这个二元一次方程由直线l上O一点P0(xo,yo) 及直线的法向量n=(A,B)图2确定,称为直线的点法式方程.反过来,如果直线l有一般方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）,（1）若A0时，该方程可化为A(x +)+B(y - 0) = 0这是过点(-,0),且法向量为n=(A,B) 的点法式直线方程；（2）若B0时，该方程可化为A(x -0)+B(y +) = 0这是过点(0,- ),且法向量为n=(A,B) 的点法式直线方程.因此,n=(A,B)就是直线Ax+By+C=0的法向量.设向量a=(-B,A),
4、由a与n的数量积an = -BA+AB=0所以an,从而向量a=(-B,A)是直线Ax+By+C=0的方向向量. 由于直线的方向向量、法向量可以从直线的一般式直接写出,应用这两个重要向量解决某些问题比较便捷.二、平面向量与直线间的位置关系设直线l1与l2的方程分别是l1 :A1x+B1y+C1=0l2 :A2x+B2y+C2=0那么，n1=( A1, B1)和n2=( A2, B2)分别是直线l1与l2的法向量.A1=A2B1=B2(1)如果l1l2 ,那么n1n2, 而n1n2的充要条件是n1=n2得 ，消去得A1B2-A2B1=0由此可知, A1B2-A2B1=0是直线l1l2的充要条件.
5、当A2 B20时可表示为 ，即对应坐标成比例.(2) 如果l1l2 ,那么n1n2, 反过来也正确.而n1n2的充要条件是n1n2=0, 得A1 A2+B1 B2=0,所以直线l1l2的充要条件是A1 A2+B1 B2=0.例1（1998年上海高考卷16题） 设a、b、c分别是ABC中A、B、C的对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与直线bx-sinBy+sinC=0的位置关系是A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直解析：易知两直线的法向量分别是n1=( sinA,a)和n2=( b,-sinB)由正弦定理知，即bsinA+a(-sinB)=0 n1n2=0 有n1n2，所以两直线是垂直
6、的，选C. (3)更一般地,由直线的法向量可求两直线的夹角.设直线l1与l2的夹角为,其法向量的夹角为,则=或=-,所以cos=|cos|.由向量的夹角公式,及n1n2 =A1 A2+B1 B2 、| n1|=、| n2|=得两直线的夹角公式为例2(2000年全国高考文科8题)已知两直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是A(0,1) B(,) C(,1)(1, ) D(1, )解析:两直线的法向量分别为(1,-1)、（a,-1）,由夹角公式得=，夹角在(0,)变动时，有,于是得1，解这个不等式得a1或1a0 ,即ab0（2） 若
7、为直角 x1 x2+y1 y2=0 ,即ab=0（3） 若为钝角 x1 x2+y1 y20 ,即ab0因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定. 例3（1994年全国高考8题）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1P F2=90，则F1P F2的面积是A 1 B C 2 D解析：易知F1（-,0）和F2（,0），设P点坐标为（xo,yo）, F1 P=( xo+, yo), F2 P=( xo-, yo).由F1P F2=90知F1P F2 P=0于是得( xo+)( xo-)+=0 即 +-5=0 又点P（xo,yo）在双曲线上， 有 联立可得 ，SF1P F2=
8、,故选A例4（2000年全国高考14题）椭圆的焦点为F1 、F2，点P为其上一动点，当F1P F2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_.解析：易知a=3,b=2，故c=.F1（-,0）,F2（,0）,设P(x,y)，则P F1=（-x ,y）, P F2=（-+x ,y）由F1P F2是钝角得 P F1P F2 00 即x2+y2-50又点P(x,y)在椭圆上, 得联立得 - x 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，求证：直线AC经过原点O. F解析：设A（x1,y1），B（x2,y2），F（,0）由BCx轴得C（-, y2）图3 FA=（x1
9、-, y1），FB =（x2-,y2）OA=（x1,y1）， OC =（-, y2）FA与 FB共线 （x1-）y2 -（x2-）y1=0，而x1=， x2=代入上式得y1 y2= -p2又OA与OC是共线向量，即A、O、C三点共线直线AC经过原点O.例6(2003年全国高考22题)已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图4），FGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyx问是否存在两个定点，使P到这两点的距离和为定值？若存在，求出这两点的
10、坐标及此定值；P若不存在，请说明理由。解析：设A（-2，0），B（2，0），图4C（2，4a），D（-2，4a），P（x,y）.由点F在直线OP上得F（,4a），则CF=2a-.又由得到BE=2 a -，于是E（2 , 2a-），G（-2 , 2a+）因G、P、E三点共线得化简为2a2x2+y2-2ay=0即（1）当a2 =时，点P的轨迹是圆弧，所以不存在符合题意的两点；（2）当a2 时，点P的轨迹是椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长：当a2 时，即0a时，即a 时，点P到椭圆两个焦点(0,a-),(0,a+)的距离的和为定长2a. 五、平面向量与解析几何中轨迹问题轨迹问题是近年来
11、高考题的热点问题之一，其本质是求出点的方程，利用向量法求轨迹方程要比距离公式简洁得多.例7(2000年北京、安徽春季高考22题)设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB,点M为垂足,求点M的轨迹方程并说明它是什么曲线?解析：设M（x,y），A（p, 2pt1），B（p, 2pt2）(其中t1,t2为正参数)，xAMBOyx图5则 OA =（p, 2pt1）, OB =（p, 2pt2）AB=( p- p,2pt2- 2pt1) ,OM =（x,y）. OAOB OA OB=0 即p p +2pt1 2pt2=0t1 t2= -4同理( p- p)x+(
12、2pt2- 2pt1)y=0(t1 +t2)x+2y=0 又A、B、M三点共线联立中消去t1,t2得x2+y2-4px=0因为A、B是原点以外的点，所以x0.点M的轨迹是以(2p,0)为圆心以2p为半径的圆，去掉坐标原点.y例8（1995年全国高考26题）如图6，椭圆，直线l：，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，点Q在OP上，RQQPOx且有|OP|OQ|=|OR|2，当点P在直线上移动时，求点Q的轨迹方程.解析：设Q（x,y）， OP =OQ ，OR =OQ（,为正参数），图6则P（x, y），R（x, y）.|OP|OQ|=|OR|2 即|OP|OQ|=|OR|2|OQ|OQ|=2|OQ|2=2 又P、R分别在直线l与椭圆上, , =代入得整理得（x,y不同时为0）.综上所述，如果在解析几何的教学中，渗透平面向量的内容，并运用向量理论来处解析几何中的“平行、垂直、夹角、共线、轨迹”问题，体现了数形结合思想，淡化了传统的利用方程、距离公式等解决解析几何问题，从而降低了思维难度，使解
