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1、高三数学第一轮复习讲义 两个平面平行【知识点归纳】 1平行平面的定义、判定定理：判定方法图形符号语言平面与平面平行定义：若两个平面没有公共点，则这两个平面平行。aAb=如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。a1b1aAbBa、b ab=Aa1、b1 a1b1=Baa1bb1a、bab=Aab如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。a垂直于同一条直线的两个平面平行。aa平行于同一个平面的两个平面平行。2平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行ba=a=bab推理模式：aa a3面面平
2、行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面推理模式：【基础训练】（1）是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是 A、是内一个三角形的两条边，且B、内有不共线的三点到的距离都相等C、都垂直于同一条直线 D、是两条异面直线，且（ ）；（2）给出以下六个命题：垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_； （3）a、b、为
3、三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）（4）正方体ABCD-ABCD中AB=。求证：平面AD1B1平面C1DB；求证：A1C平面AD1B1 ；求平面AD1B1与平面C1DB间的距离；【题型讲解】【例1】 设平面平面，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D，求证：MN平面.【例2】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE【例3】 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在直
4、线AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0a）求证： MN平面CBE求MN的长度当a为何值时，MN的长度最小【例4】如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.【巩固练习】1.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有A.1种 B.2种 C.3种 D.4种2.、是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、b B.内有三个不共线点到的距离相等C.a、b是
5、内两条直线，且a，bD.a、b是两条异面直线且a，b，a，b3.设平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=4，则CS=_.4. 在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN平面PAD；（2）当MN平面PCD时，求二面角PCDB的大小.5. 如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）APMN；（2）平面MNP平面A1BD.6.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂
6、线段.（1）求证：MN；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.（1）证明：过B作BB，垂足为B，连结CB、DB，设E为BD的中点，连结NE、CE，则NEBB且NE=BB，又AC=BB，MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.MNCE.又CE，MN，MN.（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=，CE=，即线段MN的长为.7.如下图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.（1）求证：=；（2）设AF交于M，ACDF，与间距离为h，与间距离为h，当的值是多少时，BEM的面积最大?（1）证明：连结BM、EM、BE.，平
7、面ACF分别交、于BM、CF，BMCF.=.同理，=.=.（2）解：由（1）知BMCF，=.同理，=.S=CFAD（1）sinBME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x（1x）的最值即可，显然当x=，即= 时，y=x2+x有最大值.当= ，即在、两平面的中间时，S最大.8.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.（1）证明：
8、MNEF，MN平面EFDB.又AMDF，AM平面EFDB.而MNAM=M，平面AMN平面EFDB.（2）解：BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN平面EFDB，BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OHAP于H.DB平面A1ACC1，DBOH.而MNDB，OHMN.则OH平面AMN.A1P=a，AP= a，设A1AP=，则cos=，OH=AOsin=a a=a.异面直线BE与MN的距离是a.思悟小结证明两平面平行的方法：（1）利用定义证；（2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线
9、面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教师下载中心教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.参考答案【基础训练】答：B（答：）答
10、案：（答：）剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面、中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是BAC的中位线，故MEAC，ME，ME.同理可证，NEBD.又，设CB与DC确定的平面BCD与平面交于直线CF，则CFBD，NECF.而NE平面，CF，NE.
11、又MENE=E，平面MNE，而MN平面MNE，MN平面.【题型讲解】证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE又MN平面MNGMN平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行分析：证明直线与平面平行的基本方法是，在平面内找一条直线与平面外的已知直线平行证明（1）：作MPAB交BC于P，作NQAB交BE于Q，
12、连结PQ，依题意易证CMPBNQ，所以MPNQ，从而MNPQ是平行四边形，MNPQ，从而得MN平面CBE（2）由（1）知MN=PQ=，由CM=BN=a,CB=AB=BE=1，得AC=BF=，CP=，BQ=，MN=PQ=（3）由（2）有：MN=所以，当a=时，MN取最小值（即M，N分别在AC，BF的中点时，MN的长度最小）另解：（1）建立空间直角坐标系如图，则M（又平面CBE的一个法向量 又点M平面CBE，平面CBE（2）由两点距离公式得|（1）证明：D1B1DB，D1B1平面C1DB.同理，AB1平面C1DB.又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.（2）证明：A1C1D1B1，而
13、A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，A1C1D1B1.同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面AD1B1.（3）解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则MAO1，NC1O，且AO1C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.【巩固练习】解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知矛盾.答案：C解析：A错，若ab，则不能断定；B错，若A、B、C三点不在的同一侧，则不能断定；C错，若ab，则不能断定；D正确.答案：D如图（2），由知ACBD，=，即=.SC=.答案：68或解析：如图（1），由可知BDAC，=，即=，SC=68.（1
