高三数学理映射；函数人教.doc

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1、高三数学 理 高三数学 理 映射 函数映射 函数人教版人教版 本讲教育信息 一 教学内容 映射 函数 二 本周教学重 难点 1 了解映射的概念 理解函数的概念 2 了解构成函数的要素 会求一些简单函数的定义域 在实际情境中 会根据不同的需 要选择恰当的方法表示函数 3 理解函数值域的概念 掌握函数值域的几种求解方法 典型例题 例 1 设 cbaM 2 0 2 N 1 从 M 到 N 的映射的个数为 2 从 M 到 N 的映射满足 这样的映射的个数为 cfbfaf f 解 1 由分步计数原理和映射的概念 知这样的映射有个 27333 2 若 则或 0 2 bfaf0 cf2 cf 若 则 若 则

2、2 2 bfaf2 cf0 af2 cfbf 故共有 4 个不同映射 例 2 函数 若 则的所有可能值为 0 01 sin 1 2 xe xx xf x 2 1 affa A 1 B C D 1 2 2 1 2 2 2 2 解 即1 1 0 ef1 af 当时 0 a 1 1 a eaf1 a 当时 01 a1 sin 2 aaf 只能取 0 此时 2 2 2 ka 2 1 2 2 kak 2 1 2 a 01 a 2 2 a 例 3 规定为不超过 的最大整数 例如 对实数 令 tt4 5 3 13 7 13 x 进一步令 4 1 xxf 4 4 xxxg 12 xgfxf 1 若 分别求和

3、16 7 x 1 xf 2 xf 2 若同时满足 求的取值范围 3 1 21 xfxfx 解析 1 当时 且 16 7 x 4 7 4 x1 4 7 1 xf 4 3 4 7 4 7 xg 3 4 3 112 fxgfxf 2 由 1 得 4 1 xxf 14 xxg 于是 3 416 14 12 xxfxf 44163 241 x x 解得 2 1 16 7 x 例 4 求函数的定义域xxycoslg25 2 解析 由 得 0cos 025 2 x x 2 2 2 2 55 Zkkxk x 借助于数轴 得函数的定义域为 5 2 3 2 2 2 3 5 例 5 求下列函数的定义域 1 已知的定

4、义域为 求的定义域 xf 1 0 2 xf 解 的定义域为 xf 1 0 10 2 x11 x 的定义域为 2 xf 1 1 2 已知的定义域为 3 5 求的定义域 21 xf xf 解 的定义域为 3 5 21 xf 53 x 6210 x5219 x 的定义域为 xf 5 9 3 已知的定义域为 求的定义域 1 xf 3 2 2 1 x f 解 的定义域为 1 xf 3 2 32 x 的定义域为 411 x xf 4 1 42 1 1 x 由 1 知或 2 42 1 1 12 1 x x 3 1 x0 x 由 2 知或 或0 x 2 1 x 3 1 x 2 1 x 的定义域为 2 1 x

5、f 2 1 3 1 例 6 求下列函数的值域 1 2 2 1 1 x x y 2 xxy21 3 x xy 4 4 x x y cos2 sin 解 1 方法一 1 1 2 1 1 22 2 xx x y11 2 x2 1 2 0 2 x 即11 1 2 1 2 x y 1 1 y 方法二 由 得 2 2 1 1 x x y y y x 1 1 2 解得0 2 x0 1 1 y y 11 y 2 方法一 设 得 0 21 ttx 2 1 2 t x 0 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ttt t y 2 1 y 方法二 定义域为021 x 2 1 x 2 1 函数在上均单调递增xyxy

6、21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 y 2 1 y 3 方法一 当时 当且仅当时 取等号 0 x4 4 2 4 x x x xy2 x 当时 当且仅当时 取等号0 x x x x xy 4 2 4 4 2 x 综上 所求函数的值域为 4 4 方法二 先证此函数的单调性 任取且 21 xx 21 xx 21 2121 2 2 1 121 4 4 4 xx xxxx x x x xxfxf 当或时 递增2 21 xx 21 2xx xf 当或时 递减02 x20 x xf 故时 2 x4 2 fxf 极大 时 2 x4 2 fxf 极小 所求函数的值域为 4 4 4 方法一 利用函数的有界

7、性 将原函数化为yxyx2cossin 2 1y yx y y y x2 cos 11 1 sin 22 令且 2 1 1 cos y 2 1 sin y y 1 1 2 1 2 sin 22 y y y y x 平方得 13 2 y 3 3 3 3 y 原函数的值域为 3 3 3 3 方法二 数形结合法或图象法 原函数式可化为 x x x x y cos2 sin 0 cos2 sin 此式可以看作点 2 0 和 连线的斜率 而点 的xxsin cos xxsin cos 轨迹方程为 如图所示 在坐标系中作出圆和点 2 0 1 22 yx1 22 yx 由图可看出 当过 2 0 的直线与圆相

8、切时 斜率分别取得最大值和最小值 由直 线与圆的位置关系知识可设直线方程为 即 2 xky02 kykx 易得 3 3 3 3 k 原函数的值域为 3 3 3 3 例 7 已知椭圆 C 是椭圆的左 右焦点 A 为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 F 2 F 的右顶点 的最大值的取值范围是 其中 P 为椭圆上 21 PFPF 3 22 cc 22 bac 任意一点 求椭圆的离心率的取值范围 e 解 设 P 点坐标为 00 yx 由题意知 故 0 0 21 cFcF 22 0 2 021 cyxPFPF 又 P 点在椭圆上 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 2 0 2

9、 2 22 0 x a b by 代入 式得 222 0 2 2 222 0 2 2 2 021 cbx a c cbx a b xPFPF 又 22 0 ax 2 21 bPFPF 即的最大值为 21 PFPF 2 b 又 解得 222 3cbc 2 2 2 1 e 例 8 已知函数的图象与轴分别相交于点 A B bkxxf yx jiAB22 分别是与轴正半轴同方向的单位向量 函数 ji yx 6 2 xxxg 1 求的值 bk 2 当满足时 求函数的最小值 x xgxf 1 xf xg 解 1 由已知得 B 0 0 k b A b 则 于是 b k b AB 2 2 b k b 2 1

10、b k 2 由得 xgxf 62 2 xxx 即 解之 得0 4 2 xx42 x 5 2 1 2 2 5 1 2 x x x xx xf xg 由于 则 其中等号当且仅当 即时成立02 x3 1 xf xg 12 x1 x 的最小值是 1 xf xg 3 模拟试题 一 选择题 1 设集合 A 1 2 3 集合 B 那么从集合 A 到集合 B 的一一映射的个数共cba 有 A 3 B 6 C 9 D 18 2 设集合 A R 集合 B 正实数集 则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是 f A fxyx B fxyx C f x yx 3 D f 1 log2xyx 3 已知函数的定义域为 R

11、 则实数的取值范围是 1 1 2 2 kxkx xx xfk A B C D 0 k40 k40 k40 k 4 已知 则的解析式是 2 2 1 1 1 1 x x x x f xf A B C D 2 1x x 2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 1x x 5 若 则等于 xxf2cos2 sin 1 f A B 1 C 3 D 1 3 6 函数的值域为 R 则的取值范围是 2lg 2 mxxy m A B C D 1 m1 m1 mRm 7 已知实数满足 则的最小值是 yx 06 yx 22 yx A B 6 C D 182326 8 已知 则其反函数的定义域为 0 12 xxf

12、x 1 xfy A B C D 1 0 2 2 二 解析题 1 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂为鼓励销售 商订购 决定当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的全部零件的出厂单价就 降低 0 02 元 但实际出厂单价不能低于 51 元 1 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 2 设一次订购量为个 零件的实际出厂单价为 P 元 写出函数的表达x xfP 式 3 当销售商一次订购 500 个零件时 该厂获得的利润是多少元 如果订购 1000 个 利润又是多少元 工厂售出一个零件的利润 实际出厂单价 成本 2 函数是定义域

13、为 R 的偶函数 且对任意的 均有成立 xfRx 2 xfxf 当时 1 0 x 1 2 log axxf a 1 当时 求的表达式 12 12 Zkkkx xf 2 若的最大值为 解关于的不等式 xf 2 1 x 4 1 xf 3 已知 函数Ra axxxf 2 1 当时 求使成立的的集合 2 axxf x 2 求函数在区间 1 2 上的最小值 xfy 4 已知是正常数 ba 0 yxba 1 求证 并指出等号成立的条件 yx ba y b x a 222 2 利用 1 的结论求函数 的最小值 并指出取最 xx xf 21 92 2 1 0 x 小值时的值 x 试题答案试题答案 一 1 B

14、解析 由一一映射的定义知 共有个 6 3 3 A 2 C 解析 由题意知 对 A B 选项中 若 则 对选项 D 中 0 xBy 0 故选 C Byx 0 0 3 B 解析 排除法 时 定义域为 R 排除 A D 时 k0 1 2 xxxf4 k 定义域为 不为 R 排除 C 2 2 12 1 x xx xf 2 1 2 1 4 C 解析 设 则 t x x 1 1 t t x 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 t t t t t t tf 2 1 2 x x xf 5 C 解析 1sin2 sin21 2 sin 22 xxxf12 2 xxf 31 1 2 1 2 f 6

15、 C 解析 的值域为 R 即的值域 故 2lg 2 mxxy mxxxf 2 2 RG 的最小值 即 xf01 1 mf1 m 7 D 解析 数形结合知表示原点与直线上任意一点距离的平方 故 22 yx 06 yx 其最小值为 18 2 6 22 d 8 C 解析 由互为反函数的性质 知的定义域即为的值域 由指数 1 xfy xfy 函数的单调性易知的值域为 xfy 2 二 1 解析 1 设一次订购量为个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 m 由题意 得 得 5102 0 100 60 m550 x 故当一次订购 550 个时 零件实际出厂单价恰为 51 元 2 由题意知 当时 1000

16、x60 xf 当时 550100 x 50 6202 0 100 61 x xxf 当时 函数的表达式是550 x51 xf xfP 550 51 550100 50 62 100 0 60 x Nxx x x xf 3 由 2 知当销售商一次订购 500 个零件和 1000 个零件时销售单价分别为 元和 51 元 故其利润分别是元和52 50 500 62 60004050052500 511000 元 11000401000 2 解析 1 当时 0 1 x 2 log 2 log xxxfxf aa 当时 2 12 Zkkkx 0 1 2 kx 2 2 log 2 kxkxfxf a 当时 12 2 Zkkkx 1 0 2 kx 2 2 log 2 kxkxfxf a 故当时 的表达式为 12 12 Zkkkx xf 12 2 2 2 log 2 12 2 2 log kkxkx kkxkx xf a a 2 是以 2 为周期的周期函数 且为偶函数 xf 的最大值就是当时的最大值 xf 1 0 x xf 在 0 1 上是减函数1 a 2 log xxf a 2 1 2log 0 m