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1、高三数学理科映射，函数重难点解析一. 本周教学内容：映射，函数二. 本周教学重、难点：1. 了解映射的概念，理解函数的概念。2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。3. 理解函数值域的概念，掌握函数值域的几种求解方法。【典型例题】例1 设，（1）从M到N的映射的个数为 ；（2）从M到N的映射满足，这样的映射的个数为 。解：（1）由分步计数原理和映射的概念，知这样的映射有个。（2）若，则或；若，则 若，则故共有4个不同映射例2 函数，若，则的所有可能值为（ ）A. 1 B. C. D. 1，解：，即当时， 当时， 只能取0，此时
2、例3 规定为不超过的最大整数，例如，对实数，令，进一步令（1）若，分别求和；（2）若同时满足，求的取值范围。解析：（1）当时， ，且（2）由=1，得于是 解得例4 求函数的定义域解析：由，得借助于数轴，得函数的定义域为例5 求下列函数的定义域（1）已知的定义域为，求的定义域解： 的定义域为 的定义域为（2）已知的定义域为3，5，求的定义域解： 的定义域为3，5 的定义域为（3）已知的定义域为，求的定义域解： 的定义域为 的定义域为 由（1）知或由（2）知或 或 的定义域为例6 求下列函数的值域；（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）方法一： ，即方法二：由 得 ，解得（2）方法一：设，得 方
3、法二： 定义域为 函数在上均单调递增 （3）方法一：当时，当且仅当时，取等号；当时，=，当且仅当时，取等号综上，所求函数的值域为方法二：先证此函数的单调性任取且 当或时，递增当或时，递减故时，时， 所求函数的值域为（4）方法一：利用函数的有界性将原函数化为令且 平方得 原函数的值域为方法二：数形结合法或图象法原函数式可化为此式可以看作点（2，0）和（）连线的斜率，而点（）的轨迹方程为，如图所示，在坐标系中作出圆和点（2，0）由图可看出，当过（2，0）的直线与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，由直线与圆的位置关系知识可设直线方程为，即易得 原函数的值域为例7 已知椭圆C：（），、是椭圆的左、
4、右焦点，A为椭圆的右顶点，的最大值的取值范围是，其中，P为椭圆上任意一点，求椭圆的离心率的取值范围。 解：设P 点坐标为由题意知 故又P点在椭圆上 代入式得又 即的最大值为又，解得例8 已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值。解：（1）由已知得，B（0，）则 于是 （2）由得即 解之，得由于，则，其中等号当且仅当，即时成立 的最小值是一. 选择题：1. 设集合A=1，2，3，集合B=，那么从集合A到集合B的一一映射的个数共有（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 182. 设集合A=R，集合B=正实数集，
5、则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）A. ：B. ：C. ：D. ：3. 已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 已知，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则等于（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6. 函数的值域为R，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 188. 已知，则其反函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 二. 解析题：1. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多
6、订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本）2. 函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，均有成立。当时，（1）当时，求的表达式；（2）若的最大值为，解关于的不等式3. 已知，函数（1）当时，求使成立的的集合；（2）求函数在区间1，2上的最小值。4. 已知是正常数，（1）求证：，并指出等号成
7、立的条件；（2）利用（1）的结论求函数，的最小值，并指出取最小值时的值。参考答案一.1. B 解析：由一一映射的定义知，共有个。2. C 解析：由题意知：对A、B选项中，若，则，对选项D中，故选C。 3. B 解析：排除法，时，定义域为R，排除A、D；时，定义域为，不为R，排除C。4. C解析：设，则 5. C解析： 6. C 解析：的值域为R，即的值域，故的最小值，即7. D 解析：数形结合知表示原点与直线上任意一点距离的平方，故其最小值为。8. C 解析：由互为反函数的性质，知的定义域即为的值域，由指数函数的单调性易知的值域为二.1. 解析：（1）设一次订购量为个时，零件的实际出厂单价恰降
8、为51元。由题意，得，得。故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰为51元。（2）由题意知，当时，当时，当时， 函数的表达式是（3）由（2）知当销售商一次订购500个零件和1000个零件时销售单价分别为元和51元，故其利润分别是元和元。2. 解析：（1）当时，当时，当时，故当时，的表达式为（2） 是以2为周期的周期函数，且为偶函数 的最大值就是当时的最大值 在0，1上是减函数 当时，由，得或得 是以2为周期的周期函数 的解集为3. 方法点拨：去绝对值号，将化为基本初等函数后，再求解。解析：（1）由题意当时， 或；当时， 综上，所求解集为（2）设此最小值为 当时，在区间上， ，则是区间1，2上的增函数 当时，在区间上，由，知 当时，在区间上，；若时，在区间（1，2）内从而为区间1，2上的增函数 若时，则 当时， 在上函数递增 当时， 在上函数递减 因此当时，或当时，故当时，故综上所述，所求函数的最小值4. 解析：（1）证明：应用二元均值不等式，得 故当且仅当，即时上式取等号（2）由（1）当且仅当，即时上式取最小值，即用心 爱心 专心 122号编辑 12
