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1、抛物线及其标准方程 椭圆 双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 复习 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一 定义 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 课堂新授 二 标准方程的推导 步骤 1 建系 2 设点 3 列式 4 化简 5 证明 想一想 课堂新授 课堂新授 回忆一下 看看上面的方程哪一种简单 为什么会简单 启发我们怎样建立坐标系 1 标准方程的推导 K 设 KF p 设点M的坐标为 x y 由定义可知 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴 线段KF的中垂
2、线为y轴 课堂新授 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 2 抛物线的标准方程 课堂新授 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 课堂新授 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 三 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上 x轴的负半轴上 y轴的正半轴上 y轴的负半轴上 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py F 想一想 课堂新授 第一 一次项的变量如为X 或Y 则X轴 或Y轴 为抛物线的对称轴 焦点就在对称轴上 第二 一次的系数的正负决定了开口方向 如何判断抛物线的焦点位置 开口方向 思考题 二次函数的图
3、象是抛物线 反过来 抛物线的方程是否都可以化成二次函数 否 如 y2 x 3 我们以前学习的抛物线和现在学习的抛物线的标准方程有什么联系 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 例题讲解 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 2 已知抛物线的标准方程是 1 y2 12x 2 y 12x2求它们的焦点坐标和准线方程 2 先化为标准方程 焦点坐标是 0 准线方程是y 课堂练习1 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3
4、 x2 8y 0 5 0 x 5 y 2 0 2 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 课堂练习1 变式训练 A y2 4x 1 选择题 1 准线方程为x 2的抛物线的标准方程是 B y2 8x D y2 8x C y2 4x 2 抛物线x2 y 0的焦点位于 A x轴的负半轴上 B x轴的正半轴上 D y轴的正半轴上 C y轴的负半轴上 B C 例题讲解 例2 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入
5、x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 已知抛物线经过点P 4 2 求抛物线的标准方程 课堂练习2 提示 注意到P为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 例3 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F 4 0 和到x 4距离相等 由抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点 x 4为准线的抛物线 因为p 2 4 所以p 8 所求方程是y2 16x 分析 例题讲解 3 抛物线方程x2 2py中字母p的几何意义是
6、焦点F到准线L的距离 抛物线的焦准距 4 求抛物线方程 或者求其焦点坐标和准线方程 关键要从p入手 5 会灵活运用抛物线定义解题 小结 课本定义的一个致命的漏洞 不知大家是否察觉 L F 点F在直线L外 点F在直线L上 F 一 抛物线y2 2px p 0 的几何性质 1 范围 因为p 0y2 2px 0 所以 即抛物线在y轴右侧 且向右上方和右下方无限延伸 2 对称性 图像沿x轴折叠 两部分重合或用 y代y 方程不变 所以 抛物线关于x轴对称 轴 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3 顶点 抛物线和它的轴的交点 在方程 中 令x 0 则 所以 抛物线的顶点为原点 一个 4 离心率 抛物线上的
7、点到焦点与准线距离的比 由定义 e 1 5 渐近线 抛物线虽然向右上方和右下方无限延伸 但不能象双曲线一样无限接近某一直线 所以 抛物线无渐近线 y 0 思考 抛物线的形状与何有关 归纳 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为 例4 M是抛物线y2 2px P 0 上一点 若点M的横坐标为X0 则点M到焦点的距离是 课堂练习3 1 抛物线y2 2px p 0 上一点M到焦点的距离是a a 则点M到准线的距离是 点M的横坐标是 a a 2 抛物线y2 1
8、2x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 课堂练习3 一 复习题组训练 1 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 2 抛物线的弦AB垂直x轴 若 AB 则焦点到AB的距离为 4 2 3 已知直线x y 2与抛物线交于A B两点 那么线段AB的中点坐标是 C 题后反思 刚才我们知道线段AB垂直X轴 那么当一条直线过焦点F并且垂直x轴 那么得到的线段CD有多长呢 D F 连结这两点的线段叫做抛物线的通径 它的长为2P 设抛物线的标准方程是 易知C P 2 P D P 2 P 三 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 一个正
9、三角形的三个顶点 都在抛物线上 其中一个顶点为坐标原点 则这个三角形的面积为 抛物线与过焦点的弦 一 弦长与焦点坐标之间的关系 由数形结合和抛物线定义可知 如图 抛物线的焦点在 轴上 想一想 例1 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点A B 求线段AB的长 例题讲解 例题讲解 分析1 直线与抛物线相交问题 可联立方程组求交点坐标 由距离公式求 或不求交点 直接用弦长公式求 将x1 x2 x1x2的值分别代入弦长公式 分析2 直线恰好过焦点 可与抛物线定义发生联系 利用抛物线定义将AB转化成A B间的焦点弦 两个焦半径的和 从而达到求解目的 例题讲解 同理 于是得 AB
10、AF BF x1 x2 2 于是 AB 6 2 8 解法二 在图8 22中 由抛物线的定义可知 AF 说明 解法二由于灵活运用了抛物线的定义 所以减少了运算量 提高了解题效率 例1 长为10的弦经过抛物线 的焦点弦交抛物线 于 如果 则抛物线的方程是 练习1过抛物线 的焦点作直线交 抛物线于 则 A 4 B 6 C 8 D 12 练习2 思考题 将上题中的抛物线改为 答案如何 C 练习3过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 A B两点 且A B两点的纵坐标 恰好是方程 的两根 则弦长 AB 二 弦长与弦的中点到准线距离之间的关系 如图 由梯形中位线定理和抛物线定义可知 此关系式与抛物线焦点位置有关
11、吗 无关 例6 求证 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 A1 B1 例题讲解 例3 定长为6的弦经过抛物线 的焦点 一直线 方程为 记弦的中点为 则 到直线 的距离是 例7 在抛物线y2 2x上求一点P 使P到焦点F与到点A 3 2 的距离之和最小 例题讲解 直线和抛物线的位置关系 三 巩固练习 2 抛物线的一条弦所在直线是 且弦的中点的横坐标为 3 则此抛物线的方程为 3 过抛物线的焦点 作互相垂直的两条焦点弦则的最小值为 二 典型例题 例1 例2 例3 解法1 解法2 变题 解 例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线上 求这个三角形的边长 A B 解 如图
12、设正三角形OAB的顶点A B在抛物线上 且坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 又 OA OB 所以x12 y12 x22 y22 即 x12 x22 2px1 2px2 0 X12 x22 2p x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 2p 0 A B X1 0 X2 0 2p 0 X1 x2 由此可得 y1 y2 即线段AB关于x轴对称 因为x轴垂直于AB 且 所以 作业 1 过抛物线 焦点作直线交抛物线于点 则 中点 到准线距离为 A 5B 4C 3D 2 2 抛物线 过焦点的弦 且 的倾斜角为 求证 3 定长为3的线段 的两个端点在抛物线 上移动 记线段的中点为 求点 到 轴的最短距离 4 思考题 设抛物线C 有两动点 A B A B不垂直于 轴 F为焦点 且 又线段AB的垂直平分线恒过点 求抛物线C的方程 四 课堂小结 1 进一步学习了直线与抛物线的位置关系 2 学会用函数和方程的思想方法来解决直线与抛物线相交的有关问题 3 熟练掌握 设而不求 以及数形结合的数学思想方法
