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1、空间向量在立体几何证明中的应用 新登中学高二数学备课组 前段时间我们研究了用空间向量求角 包括线线角 线面角和面面角 求距离 包括线线距离 点面距离 线面距离和面面距离 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题 立体几何中的有关证明问题 大致可分为 平行 垂直 两大类 平行 线面平行 面面平行 垂直 线线垂直 线面垂直和面面垂直 平行与垂直的问题的证明 除了要熟悉相关的定理之外 下面几个性质必须掌握 1 已知b a不在 内 如果a b 则a 2 如果a a 则 3 如果a b a 则b 课本P22 6 4 如果a b a b 则 一 用空间向量处理 平行 问题 M N 例1
2、如图 ABCD与ABEF是正方形 CB 平面ABEF H G分别是AC BF上的点 且AH GF 求证 HG 平面CBE P o z y 证明 由已知得 AB BC BE两两垂直 故可建立如图所示的空间直角坐标系o xyz x 设正方形边长为1 AH FG a 则H 0 1 a a G 1 a 1 a 0 故 而平面CBE的法向量为 0 1 0 故 而平面CBE故HG 平面CBE R 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q分别是A1B1和BC上的动点 且A1P BQ M是AB1的中点 N是PQ的中点 求证 MN 平面AC 作PP1 AB于P1 作MM1 AB于M1 连结QP1 作N
3、N1 QP1于N1 连结M1N1 N1 M1 P1 NN1 PP1MM1 AA1 z y x o 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 设正方形边长为2 又A1P BQ 2x 则P 2 2x 2 Q 2 2x 2 0 故N 2 x 1 x 1 而M 2 1 1 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面A1BD 平面CB1D1 于是平面A1BD 平面CB1D1 o z y x 证明 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 通过本例的练习 同学们要进一步掌握平面法向量的求法 即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0 利用
4、解方程组的方法求出平面法向量 在解的过程中可令其中一个未知数为某个数 例1 2与例3在利用法向量时有何不同 例4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别是A1B1 B1C1 C1D1 D1A1的中点 求证 平面AEH 平面BDGF 故得平面AEH 平面BDGF o z y x 略证 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则求得平面AEF的法向量为 求得平面BDGH的法向量为 显然有 故平面AEH 平面BDGF 二 用空间向量处理 垂直 问题 F E X Y Z 例6 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 3 a E F分别是BB1 CC1上的点 且BE a
5、CF 2a 求证 面AEF 面ACF A F E C1 B1 A1 C B x z y A F E C1 B1 A1 C B z y 不防设a 2 则A 0 0 0 B 3 1 0 C 0 2 0 E 3 1 2 F 0 2 4 AE 3 1 2 AF 0 2 4 因为 x轴 面ACF 所以可取面ACF的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面AEF的法向量 则 x nAE 3x y 2z 0 nAF 2y 4z 0 x 0 y 2z 令z 1得 n 0 2 1 显然有mn 0 即 m n 面AEF 面ACF 证明 如图 建立空间直角坐标系A xyz 求证 平面MNC 平面PBC 求点A
6、到平面MNC的距离 已知ABCD是矩形 PD 平面ABCD PD DC a AD M N分别是AD PB的中点 练习1 X Y Z A B C D M G X Y Z X Y Z X Z X Y Z 小结 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题 是近年来很 热 的话题 其原因是它把有关的 证明 转化为 程序化的计算 本课时讲的内容是立体几何中的证明 线面平行 垂直 的一些例子 结合我们以前讲述立体几何的其他问题 如 求角 求距离等 大家从中可以进一步看出基中一些解题的 套路 利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势 而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具 故 学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础 作业 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1D1 BB1的中点 问 在边CC1上是否存在一点P 使A1C 平面EFP 若存在 求出P的位置 若不存在 请说明理由 2 在四棱锥P ABCD中 底ABCD是正方形 且PA PB PC PD AB BC CD DA M N分别是PA BD上的动点 且PM MA BN ND 问 直线MN与平面PBC有什么关系 请证明你的结论
