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1、映射的概念 一般地 设A B是两个非空的数集 如果按某种对应法则f 对于集合A中的每一个元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它对应 这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数 复习 函数的概念 函数的本质 建立在两个非空数集上的特殊对应 复习 函数的概念 这种 特殊对应 有何特点 1 可以是 一对一 2 可以是 多对一 3 不能 一对多 4 A中不能有剩余元素 5 B中可以有剩余元素 新课 初中我们学过一些 对应 的例子 1 对于任何一个实数 数轴上都有唯一的点和它对应 2 对于坐标平面内的任何一个点 都有唯一的有序实数对 x y 和它对应 3 对于任意一个三角形 都有唯一的确定的面积和它对应 4
2、 对于任意一个二次函数 相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应 问题3 你还能找出生活中的一些 对应 的例子吗 A B 对应 从集合的角度来讲 这些对应是集合之间根据一定的法则进行的对应 法则f 回到前面 1 对于任何一个实数 数轴上都有唯一的点和它对应 2 对于坐标平面内的任何一个点 都有唯一的有序实数对 x y 和它对应 A R B 数轴上的点 A 坐标平面内的点 B x y x y R 3 对于任意一个三角形 都有唯一的确定的面积和它对应 A 三角形 B 三角形的面积 4 对于任意一个二次函数 相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应 A 二次函数 B 坐标平面内的抛物线 法则f 在数轴上
3、画点 法则f 在坐标平面内画点 法则f 求面积 法则f 画图像 开平方 求正弦 求平方 乘与2 1 4 3 2 前进 总结 对于集合A中的任何一个元素 按照某种法则f 在集合B中都有确定的 一个或多个 元素和它对应 回上图 发现规律 上图 2 3 4 中 A中任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应 问题4 前面是各张图中 A中元素和B中分别是怎样的对应 定义1 一般地 设A B是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合A中的任何一个元素 在集合B中都有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合A B及A到B的对应法则f 叫做集合A到集合B的映射 记作 f A B 注意 2 符号 f A B
4、 表示A到B的映射 3 映射有三个要素 两个集合 一种对应法则 4 集合的顺序性 f A B与f B A是不同的 5 箭尾集合中元素的任意性 少一个也不行 箭头集合中元素的唯一性 多一个也不行 即只能多对一 一对一 不能开花 1 映射是一种特殊的对应 1 函数是特殊的映射 是数集到数集的映射 思考 映射与函数有什么区别与联系 2 映射是函数概念的扩展 映射不一定是函数 3 映射与函数都是特殊的对应 4 3 问题4 根据映射定义 指出哪些对应是A到B的映射 例1 判断下面的对应是否为映射 1 设A 1 2 3 4 B 3 4 5 6 7 8 9 集合A中的元素x按照对应法则 乘2加1 和集合B中
5、的元素2x 1对应 这个对应是否为集合A到集合B的映射 为什么 2 设A N B 0 1 集合A中的元素x按照对应法则 x除以2得的余数和集合B中的元素对应 这个对应是否为集合A到集合B的映射 为什么 3 设A x x是直角三角形 B y y 0 集合A中的元素x按照对应法则 计算面积 和集合B中的元素对应 这个对应是否为集合A到集合B的映射 为什么 数学应用 2 已知M x 0 x 2 N y 0 y 2 下列图中表示从M到N的映射共有多少个 O O O O 1 2 3 5 6 4 定义2 给定一个集合A到集合B的映射 且a A b B 如果元素a和元素b对应 那么我们把元素b叫做元素a的象
6、 元素a叫做元素b的原象 a的象 b的原象 1 4 3 2 的原象 450的象 给定映射f A B 则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象 而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象 也不一定只有一个原象 注意 比如 问题5 图中所示的三个对应是不是映射 问题6 图中的 1 2 所示的映射有什么特点 发现规律 1 对于集合A中的不同元素 在集合B中有不同的象 我们把这样的映射称为单射 2 集合B中的每一个元素都有原象 我们把这样的映射称为满射 问题7 单射 满射 定义3 前进 定义3 一般地 设A B是两个集合 f A B是集合A到集合B的映射 如果在这个映射下 对于集合A的不同元素 在集
7、合B中有不同的象 且B中每一个元素都有原象 那么这个映射叫做A到B上的一一映射 单射 满射 一一映射 充要条件 返回 注意 1 一一映射是一种特殊的映射 2 映射和一一映射之间的充要关系 3 一一映射 A和B中元素个数相等 映射是一一映射的必要而不充分条件 例2 判断下面的对应是否为映射 是否为一一映射 1 A 0 1 2 4 9 B 0 1 4 9 64 对应法则f a b a 1 2 答 是映射 不是一一映射 2 A 0 1 4 9 16 B 1 0 1 2 3 4 对应法则f 求平方根 3 A Z B N 对应法则f 求绝对值 4 A 11 16 20 21 B 6 2 4 0 对应法则f 求被7除的余数 答 不是映射 答 不是映射 答 是映射 且是一一映射 练习 课本49页1 4 课时小结 映射的定义 映射三要素 两个集合 一种对应法则 映射的表示方法f A B 象与原象的概念 注意 2 一一映射是一种特殊的映射 A到B是映射 B到A也是映射 1 映射是一种特殊的对应 多对一 一对一
