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1、数学问题解答 1998年11月号问题解答 解答由问题提供人给出 11611 对任意正整数n 试证明 1 n 1 1 n 2 1 3n 1 2 27n n 1 2 2 27 n 1 3 2 27n n 1 3 0 f n 是单调递减的 f n f 1 1 2 1 3 1 4 1 27 121 108 1 n 1 1 n 2 1 3n 1 121 108 1 27n2 121 108 9 8 1 n 1 1 n 2 1 3n 1 1 使d n 13 且d 5 n 6 d 5n 6 5 n 13 71 又 71是质数 且d 1 d 71 由71 n 13 知n 13 71 从而n 84 又 当n 8
2、4时n 13 5n 6不是最简分数 故n的最小值为 84 C Q S A H F 1O 2 O D T P B E 11631 已 知 O1 与 O2内切于点P O1上任意一点A 弦A B A C切 O2于 E F 弦A T过O2且 交EF于H 交B C于 D 求证 A H A T H D H T 证明 连结TB A B A C是 O2的切线 又A T经过O2 BA T CA T CB T B TD A TB TB 2 TD TA 又 TD TH H D TA TH A H TB 2 TH H D TH A H TH 2 H D TH TH A H H D A H TH 2 TH A H TH
3、 A H H D TH 2 TH A H A T H D 1 再过P T分别作 O1的直径PQ TS 连结B S EO2 则在R t A EO2中 有 O2E 2 O2H O2A 2 在 O1中 由相交弦定理得 O2P O2Q O2T O2A 3 而O2E O2P 则 2 3 得 O2P PQ O2A TH 4 易证R t A EO2 R t SB T 则 O2E TS O2A TB 5 又由O2E O2P PQ TS代入 5 得 PO2 PQ O2A TB 6 由 4 和 6 得 TH TB 7 把 7 代入 1 得 A T H D TH A H A H A T H D H T 注 此题有感
4、于1978年在罗马尼亚举行的第20 241998年 第12期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 届 IM O 一道由美国提供的平面几何题 原题目 略去 笔者对原题进行研究 发现条件 边A B A C 是多余的 于是 笔者就将原题引申为 A为 O1上任意一点 其它条件不变 这样仍然有原 题的结论 笔者再结合近几年的竞赛题 平面几 何 之热点 圆与相似形的组合 据此 笔者将引申 后的题再进行拓展 这样就产生了这道引申拓展 题 11641 在 A B C中 A 2
5、 B C是钝 角 三条边长a b c都是整数 求周长的最小值并 给出证明 解 由题设及正弦 余弦定理得 a b sinA sinB sin2B sinB 2cosb a2 c2 b2 ac a 2c a 2b bc 2 b 3 即 c b a2 b b c 0 因为c b 0 所以a2 b b c 不妨设 b c 1 如果 b c d 1 那么d a 在 的两边除以d 2 即可 那么 b b c 1 故可设 b m 2 b c n 2 其中a m n 因为a b c 所以 a 2 b b c b 2 b a a b a 2b 0 a 2b 又因为C是钝角 故a2 b2 c2 b b c b 2
6、 2b 所以 a2 b b c 3 b 2 综上可得3b a 2b 即3m n 1 m 2 3 3 所以m 4 当m 4时 n 7 此时a b c n2 m n 49 28 77 当m 5时 n 7 此时a b c n2 m n 77 故周长的最小值为77 此时a b c分别为28 16 33 11651 矩形剪切问题 在一块400 300的大 矩形板料上沿平行于矩形边的方向剪切规格为 43 31的小矩形料坯 问最多能剪切多少个小矩 形料坯 杨克昌提供 解 剪切时受矩形边长数值的约束 存在无 法利用的空隙在所难免 因剪切线平行于大矩形 的边 因而每一平行于矩形的边的方向都是由若 干个43与若干
7、个31及空隙组成 设平行于大矩 形长l 400边的方向由i个43与至多 400 43i 31 个31组成 其中 x 为不大于x的最大 整数 下同 则该方向上存在的空隙d l至少为 d l 400 43i 400 43i 31 31 i 0 1 400 43 i变化 d l随之相应变化 实施知当i 2时 d l有最小值lm in 4 同样 平行宽 300边的方向上存在的空 隙d 至少为 d 300 43i 300 43i 31 31 i 0 1 300 43 实施知当i 4时 d 有最小值wm in 4 这样 可证明在剪切线平行于大矩形的边的 情形下 无论怎样剪切 存在无法利用的空隙面积 至少为
8、 Sm in lm in m in l lm in m in 4 300 4 400 4 4 2784 因而得可剪切的小矩形个数至多为 n l Sm in a b 400 300 2784 43 31 87 下图具体给出剪切87个小矩形的实施图 因而 我们得该矩形剪切问题的结论为 在 400 300的大矩形板料上最多能剪切87个43 31的小矩形料坯 1998年12月号问题 11661 对任意自然数 试证 12 22 n2 0 的直接推论 过渡到一般 归纳法畅通无阻 明显的应用在最优化理论中 例 如给了2n对绳子 如何围成n个面积总和最大的 矩形等 指数积的不等式来自信息论 是证明与熵有 关的重要不等式的工具 它涉及两个有限概率分 布 pi 1 i n和 qi 1 i n 即0 pi 1 0 qi 1 n i 1 pi n i 1 qi 1 其传统的表述形式是 0 n i 1p i qi 0 n i 1q i qi 由于涉及指数函数 非负性的条件不能取消 但求 和等于1的约束可以取消 只要 n i 1 pi n i 1 qi就 够了 其证明也可用数学归纳法 留给有兴趣的读 者作为练习 441998年 第12期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved
