《高三数学第四篇第三节等比数列课件理北师大.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第四篇第三节等比数列课件理北师大.ppt（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节等比数列 1 等比数列 a1qn 1 am qn m am an ak al q2 qm q q1q2 b2 ac是a b c成等比的什么条件 提示 b2 ac是a b c成等比的必要不充分条件 当b 0 a c至少有一个为零时 b2 ac成立 但a b c不成等比 反之 若a b c成等比 则必有b2 ac 2 等比数列项的取值及变化 1 等比数列 an 中 公比q 0 an 0 2 设等比数列 an 中 a1 0 则当公比q 时 数列 an 为递增数列 当公比q 时 数列 an 为递减数列 3 设等比数列 an 中 a1 0 则当公比q 时 数列 an 为递增数列 当公比q 时 数列
2、 an 为递减数列 4 设等比数列 an 中 若公比q 0 则该数列各项之间的符号关系为一正一负或一负一正 1 0 1 0 1 1 1 设a1 2 数列 an 1 是以3为公比的等比数列 则a4的值为 A 80B 81C 54D 53 解析 由已知得an 1 a1 1 qn 1 即an 1 3 3n 1 3n an 3n 1 a4 34 1 80 答案 A 2 在等比数列 an 中 前n项和为Sn 若S3 7 S6 63 则公比q的值是 A 2B 2C 3D 3 解析 方法一 依题意 q 1 得1 q3 9 q3 8 q 2 方法二 a1 a2 a3 q3 a4 a5 a6 而a4 a5 a6
3、 S6 S3 56 7 q3 56 q3 8 q 2 答案 A 3 关于数列3 9 729 以下结论正确的是 A 此数列不能构成等差数列 也不能构成等比数列B 此数列能构成等差数列 但不能构成等比数列C 此数列不能构成等差数列 但能构成等比数列D 此数列能构成等差数列 也能构成等比数列 解析 由等差数列和等比数列的定义验证该数列3 9 729可知是公差为6的等差数列也可以是公比为3的等比数列 答案 D 4 在数列 an bn 中 bn是an与an 1的等差中项 a1 2 且对任意n N 都有3an 1 an 0 则 bn 的通项公式bn 解析 由已知得 an 是以2为首项 以为公比的等比数列
4、an 2 n 1 an 1 2 n 2bn an an 1 2 n 1 2 n bn 答案 5 设数列1 1 2 1 2 22 2n 1 的前n项和为Sn 则Sn 解析 由已知得数列的通项an 2n 1 Sn 2 22 2n n n 2n 1 n 2 答案 2n 1 n 2 2009年广州模拟 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 1 证明 数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 3 证明 不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 思路点拨 证明一个数列是等比数列常用定义法 即 q 对于本例 1 适当变形即可求证 证明不等问题常用作差法证明 自
5、主探究 1 由题设an 1 4an 3n 1得an 1 n 1 4 an n n N 又a1 1 1 所以数列 an n 是首项为1 且公比为4的等比数列 2 由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 所以数列 an 的前n项和Sn 3 对任意的n N 3n2 n 4 0 所以不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 方法点评 等比数列的判定方法有 1 定义法 若 q q为非零常数 或 q q为非零常数且n 2 则 an 是等比数列 2 中项公式法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n N 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法
6、若数列通项公式可写成an c qn c q均为不为0的常数 n N 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和Sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 特别提醒 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 而后两种方法常用于选择 填空中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定其任意的连续三项不成等比即可 1 已知数列 an 中 Sn是它的前n项和 且Sn 1 4an 2 n N a1 1 设bn an 1 2an 求证 数列 bn 是等比数列 证明 Sn 1 4an 2 Sn 2 4an 1 2 得an 2 4an 1 4an an
7、 2 2an 1 2 an 1 2an 又 bn an 1 2an bn 1 2bn S2 4a1 2 6 a2 S2 a1 5 b1 a2 2a1 3 0 bn 是以3为首项 以2为公比的等比数列 设数列 bn 的前n项和为Sn 且bn 2 2Sn 数列 an 为等差数列 且a5 14 a7 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 若cn an bn n N Tn为数列 cn 的前n项和 求证 Tn 自主探究 1 由bn 2 2Sn 得b1 2 2S1 又S1 b1 所以b1 由bn 2 2Sn 得bn 1 2 2Sn 1 得bn 1 bn 2bn 1 3bn 1 bn 即 方法点评 等比数
8、列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想简化运算的过程 特别提醒 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 2 设等比数列 an 的公比为q q 0 它的前n项和为40 前2n项和为3280 且前n项中数值最大项为27 求数列的第2n项 解析 若q 1 则na1 40 2na1 3280 矛盾 q 1 得1 qn 82 qn 81 将 代入 得
9、q 1 2a1 又 q 0 q 1 a1 0 an 为递增数列 an a1qn 1 27 由 得q 3 a1 1 n 4 a2n a8 1 37 2187 已知等比数列前n项的和为2 其后2n项的和为12 求再往后3n项的和 思路点拨 由已知条件 根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程 应能解出a1和q关于n的表达式 这样可能较繁琐又不便于求出结果 若采用整体处理的思路 问题就会变得简单 也可采用等比数列的性质使问题简化 自主探究 方法一 利用等比数列的性质 由已知a1 a2 an 2 an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n 12 注意到 a1 a2 an
10、an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n a3n 1 a3n 2 a4n 也成等比数列 其公比为qn 于是 问题转化为已知 A1 2 A1qn A1q2n 12 要求A1q3n A1q4n A1q5n的值 由A1 2 A1qn A1q2n 12 得q2n qn 6 0 则qn 2或qn 3 由A1q3n A1q4n A1q5n A1q3n 1 qn q2n 2 q3n 7 14 q3n 方法二 利用求和公式 如果公比q 1 则由于a1 a2 an 2 可知an 1 a3n 4 与已知不符 q 1 由求和公式 得 式除以 式得qn 1 qn 6 q2n qn 6 解得qn 2或
11、qn 3 又再往后3n项的和S 方法点评 等比数列的性质可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 3 已知数列 an 是等比数列 首项为a1 公比不等于1 又其中有连续三项分别是一等差数列的第t k p项 求等比数列 an 的通项公式 解析 设符合题设的等比数列 an 中的连续三项为am am 1 am 2 则am 1 amq am 2 am 1q q为公比 两式相减 得q 又am 1 am k t d 即am 1 am k t d 同理am 2 am 1 p k d d为公差 故q 所求的
12、通项公式为an 1 2009年宁夏海南高考 等比数列 an 的前n项和为Sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则S4 A 7B 8C 15D 16 解析 不妨设数列 an 的公比为q 则4a1 2a2 a3成等差数列可转化为2 2q 4 q2 得q 2 S4 15 答案 C 2 2009年辽宁高考 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若 A 2B C D 3 解析 设数列 an 的公比为q 则 1 q3 3 所以 故选B 答案 B 3 2009年广东高考 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 l
13、og2a2n 1 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2 解析 设等比数列 an 的首项为a1公比为q a5 a2n 5 22n n 3 a1q4 a1q2n 6 22n 即a12 q2n 2 22n a1 qn 1 2 22n an 2 2n 2 an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 log22 log223 log222n 1 1 3 2n 1 n n2 故选C 答案 C 4 2009年浙江高考 设等比数列 an 的公比q 前n项和为Sn 则 解析 q 3 q 2 q 1 1 8 4 2 1 15 答案 15 5 20
14、09年江苏高考 设 an 是公比为q的等比数列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 解析 由an bn 1 且数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则 an 有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 经分析判断 比较知 an 的四项应为 24 36 54 81 又 q 1 所以数列 an 的公比为q 则6q 9 答案 9 1 等比数列的判定方法 1 定义法 即证明 q q 0 n N q是与n值无关的常数 2 中项法 证明一个数列满足an 12 an an 2 n N 且an an
15、1 an 2 0 2 等比数列的前n项和公式 1 等比数列的前n项和公式为Sn 2 等比数列前n项和公式的推导过程是一种特殊的求和方法 错位相减法 应当掌握 适用于 an bn 其中an为等差数列 bn为等比数列 这种类型的数列求和 3 解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中五个量a1 an n q Sn一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论的思想 利用等比数列前n项和公式时要分公比q 1和q 1两种情况讨论 研究等比数列的单调性时应进行讨论 当a1 0 q 1或a1 0 0 q 1时为递增数列 当a1 0 q 1或a1 0 0 q 1时为递减数列 当q 0时为摆动数列 当q 1时为常数列 3 函数的思想 等比数列的通项公式an a1qn 1 qn q 0且q 1 常和指数函数相联系 4 整体思想 应用等比数列前n项和时 常把qn 当成整体求解 4 巧用性质 减少运算量 在解题中非常重要 课时作业点击进入链接
