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1、2 直角坐标系与极坐标系点的坐标的互化公式 3 空间中点P的直角坐标 x y z 与柱坐标 z 4 空间点P的直角坐标 x y z 与球坐标 r 答案 y 3sin2x 答案 答案 4 我国首都北京的球坐标为 6370 50 求北京所在的纬线的长度约为多少 地球半径约6370km cos40 0 7660 解 如右下图 首都北京的球坐标为 6370 50 设为点A 则 OA 6370 AOO 50 O A OA sin50 OA cos40 6370 0 7660 纬度圈长为2 3 142 6370 0 7660 3 066 104km 例1 在同一平面直角坐标系中 将直线x 2y 2变成直线
2、2x y 4 求满足图象变换的伸缩变换 即直线x 2y 2图象上所有点的横坐标不变 纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x y 4 求满足图象变换的伸缩变换 实际上是让我们求其变换公式 我们将新旧坐标分清楚 代入对应的直线方程 然后比较系数就可得到 一般地 极坐标方程 sin a cos a a是常数 都表示直线 将它们化为直角坐标方程的方法就是按照正 余弦的和差公式展开后 根据直角坐标与极坐标的互化公式进行 变式迁移2 1 极坐标方程 cos 2sin2 表示的曲线为 A 一条射线和一个圆B 两条直线C 一条直线和一个圆D 一个圆 2 化极坐标方程 2cos 0为直角坐标方程为 A x2 y2
3、 0或y 1B x 1C x2 y2 0或x 1D y 1 答案 1 C 2 C 思路分析 1 建立以O为极点 OP所在直线为极轴的极坐标系 2 设点M的极坐标 依 POQ的面积建立关系式 变式迁移3在极坐标系中 已知圆C的圆心C 3 半径r 3 1 求圆C的极坐标方程 2 若Q点在圆C上运动 P在OQ的延长线上 且 OQ QP 3 2 求动点P的轨迹方程 解 1 设M 为圆C上任一点 OM的中点为N O在圆C上 OCM为等腰三角形 例4 一个圆形体育馆 自正东方向起 按逆时针方向等分为十六个扇形区域 顺次记为一区 二区 十六区 我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500m 每相邻两排的间
4、距为1m 每层看台的高度为0 7m 现在需要确定第九区第四排正中的位置A 请建立适当的坐标系 把点A的坐标求出来 答案 B 1 我们在使用伸缩变换时 要分清新旧P x y 是变换图形后的点的坐标 P x y 是变换前图形的点的坐标 注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式 以加深理解和记忆 2 求曲线的极坐标方程的步骤 建立适当的极坐标系 设P 是曲线上任意一点 由曲线上的点所适合条件 列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式 将列出的关系式进行整理 化简 得出曲线上的极坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程 若方程的推导过程正确 化简过程都是同解变形 这一证明可以省略 3 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路 对于简单的我们可以直接代入公式 cos x sin y 2 x2 y2 但有时需要作适当的变化 如将式子的两边同时平方 两边同时乘以 等 有些时候 如果要判断曲线的形状 我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断 这时我们直接应用x cos y sin 即可 6 球坐标系在地理学 天文学中有着广泛应用 在测量实践中 球坐标中的角 称为被测点P r 的方位角 90 称为高低角
