《江苏南通四所名校高三数学一轮复习函数的值域和函的单调性课件苏教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏南通四所名校高三数学一轮复习函数的值域和函的单调性课件苏教.ppt（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节函数的值域和函的单调性 最值 基础知识梳理 1 函数的值域 1 函数的值域的定义 在函数y f x 中与自变量x的值对应的y的值叫做 的集合 叫做函数的值域 2 确定函数值域的原则 a 当函数y f x 用表格给出时 函数的值域是指集合 b 当函数y f x 用图象给出时 函数的值域是指图象上每一个点的纵坐标组成的集合 c 当函数y f x 用解析式给出时 函数的值域由确定 基础知识梳理 3 求函数值域的方法有 等 基础知识梳理 2 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在上
2、是增函数 若 则f x 在上是减函数 基础知识梳理 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 基础知识梳理 3 复合函数的单调性设函数y f u u g x 都是单调函数 那么复合函数y f g x 在其定义域上也是单调函数 对于复合函数的单调性 可概括为 同增异减 或用下表说明 基础知识梳理 基础知识梳理 4 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最大值 2 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M 满足 f x
3、M f x0 M 对于任意的x I 都有 存在x0 I 使得 则称M是f x 的最小值 f x M f x0 M 三基能力强化 答案 三基能力强化 2 2010年惠州二次调研 给出下列四个函数 f x x 1 f x f x x2 f x sinx 其中在 0 是增函数的有 答案 三基能力强化 三基能力强化 4 已知y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若f m 1 f 1 2m 则m的取值范围是 三基能力强化 5 已知下列四个命题 若f x 为减函数 则 f x 为增函数 若f x 为增函数 则函数g x 在其定义域内为减函数 若f x 与g x 均为 a b 上的增函数 则f x g
4、x 也是区间 a b 上的增函数 若f x 与g x 在 a b 上分别是递增与递减函数 且g x 0 则在 a b 上是递增函数 其中正确命题的序号是 答案 课堂互动讲练 判断函数的单调性的方法不是惟一的 结合函数解析式的特点可以选取不同的方法 定义法是最基础的方法 大部分题目涉及常见的函数的单调性 课堂互动讲练 已知函数f x ax a 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 思路点拨 利用函数单调性的定义或看作两个函数的和来研究 课堂互动讲练 证明 法一 任取x1 x2 1 不妨设x10 ax2 x1 1且ax1 0 ax2 ax1 ax1 ax2 x1 1 0 又 x1 1 0 x2
5、 1 0 故函数f x 在 1 上为增函数 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有 1 定义法 2 图象观察法 3 利用已知函数的单调性 4 利用复合函数的单调性法则 5 利用导数法 利用定义法的关键是对f x1 f x2 的整理 化简 变形和符号的判断 其中变形的策略有因式分解 配方 分子 分母 有理化等 课堂互动讲练 跟踪训练 1 已知f x 是定义在R上的增函数 对x R有f x 0 且f 5 1 设F x f x 讨论F x 的单调性 并证明你的结论 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 若x1x1 5 则f x2 f x1 1 f x1 f
6、x2 1 1 0 F x2 F x1 综上 F x 在 5 为减函数 在 5 为增函数 课堂互动讲练 本类题主要求复合函数的单调区间 要充分应用基本函数的单调性 课堂互动讲练 思路点拨 先确定复合函数的定义域 以及内 外函数的单调性变化 由此确定函数的单调区间 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 复合函数y f g x 的单调性规律为 同增异减 即若f x 与g x 具有相同的单调性 则f g x 必为增函数 若两者单调性不同 则f g x 必为减函数 求复合函数的单调性的步骤为 求复合函数的定义域 把复合函数分解为基本函数 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 课堂互动讲练 由复合函数的
7、单调性规律判断其单调性或单调区间 复合函数的单调性问题 遵循由内到外的原则 在单独分析内外函数的单调性时仍然可以考虑导数等方法 其中最容易出错的地方是复合函数的定义域 例如对数函数的真数和底数位置等是有限制条件的 课堂互动讲练 2 在例2中函数对数的底数换为a a 0且a 1 结果如何 解 由4x x2 0得函数的定义域是 0 4 令t 4x x2 t 4x x2 x 2 2 4 t 4x x2的递减区间是 2 4 递增区间是 0 2 互动探究 课堂互动讲练 当01时 y logat在 0 上是增函数 y loga 4x x2 的单调减区间是 2 4 单调增区间是 0 2 课堂互动讲练 1 若
8、函数是二次函数或可化为二次函数型的函数 常用配方法 2 利用函数的单调性求最值 先判断函数在给定区间上的单调性 然后利用单调性求最值 3 基本不等式法 当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法 课堂互动讲练 4 导数法 当函数较复杂 如指数 对数函数与多项式结合 时 一般采用此法 5 数形结合法 画出函数图象 找出坐标的范围或分析条件的几何意义 在图上找其变化范围 课堂互动讲练 思路点拨 先求定义域 然后判断函数的单调性 再由单调性来求最值或值域 课堂互动讲练 解 1 由3 2x x2 0得函数定义域为 1 3 设t 3 2x x2 4 x 1 2 t 0 4 0 2 从而 当x 1时 ym
9、in 2 当x 1或x 3时 ymax 4 故值域为 2 4 2 法一 函数y x 是定义域在 x x 0 上的奇函数 故其图象关于原点对称 故只讨论x 0时 即可知x 0时的最值 课堂互动讲练 当x 0时 y x 2 4 当且仅当x 2时等号取得 当x 0时 y 4 当且仅当x 2时等号取得 综上函数的值域为 4 4 无最值 课堂互动讲练 所以当x 2或x 2时 f x 递增 当 2 x 0或0 x 2时 f x 递减 故x 2时 f x 极大值 f 2 4 x 2时 f x 极小值 f 2 4 所以所求函数的值域为 4 4 无最大 小 值 课堂互动讲练 点评 求函数的最值可变换形式利用函数
10、的单调性 基本不等式或导数法 但在变化过程中 要掌握一些变化方法 如分式法 换元法等 这是解决此类问题的关键 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 已知函数在某个区间上的单调性 求参数的取值范围 为单调性的逆向思维问题 往往转化恒成立问题 是考查函数单调性相关问题的一个重点 此处 只研究复合函数相关恒成立问题 在导数中还会遇到 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 函数f x ln x 8 在 1 上是增函数 求a的取值范围 思路点拨 1 此题显然是一个单调性的逆向问题 已知函数的单调性 去探求其他问题 这种问题也要用到定义法或导数法 一般会形成一个不等式在某区间上的恒成立问题 课堂互动讲练
11、 课堂互动讲练 解 法一 要满足题意 首先须 对任意的1 x1 x2有f x1 f x2 恒成立 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 x 1 上式 x2 8x a 0恒成立 a x2 8x 又x2 8x在 1 上的最小值为9 10分 a 9 综上 1 a 9 a的取值范围为 1 9 12分 课堂互动讲练 点评 本题的两种解法 体现了解决函数的单调性逆向问题的思想方法 本质是转化为不等式的恒成立问题 而这类问题又与函数的最值与值域直接相关 自我挑战 解 当a 0时 定义域为R 函数为常数函数 不符合减函数条件 2分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 域必包含区间 0 1 因此对任意
12、的a 0均符合条件 10分综上所述 a的取值范围是 0 1 4 12分 规律方法总结 1 求函数值域的总原则 由定义域 对应法则f在等价条件下 巧妙地转化为与y有关的不等式 求值域问题技巧性强 要根据题目特点 确定合理的方法 配方法 换元法 判别式法 数形结合法 单调性法 导数法等 因与函数的最值密切相关 常可转化为求函数的最值问题 规律方法总结 2 证明一个函数在区间D上是增 减 函数的方法有 1 定义法 其过程是 作差 变形 判断符号 而最常用的变形是将和 差形式的结构变为积的形式的结构 2 求导法 其过程是 求导 判断导函数的符号 下结论 规律方法总结 3 确定函数单调区间的常用方法有 1 观察法 2 图象法 即通过画出函数图象 观察图象 确定单调区间 3 定义法 4 求导法 注意 单调区间一定要在定义域内 规律方法总结 4 含有参量的函数的单调性问题 可分为两类 一类是由参数的范围判定其单调性 一类是给定单调性求参数范围 其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式 结合定义域求出参数的取值范围 规律方法总结 5 要证明函数在 a b 上不单调递增 只需找x1 x2 a b 当x1f x2 即可 不递增 则可能递减也可能不单调 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入
