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1、新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 从而 作 00 轴 垂足为0 则 0就是角 的余弦线作 0 垂足为 过点 作 0 轴 垂足 为 过点 作 70 垂足为7 则 7 于是 0 0 7 即 它表明用单角三角函数值可以表示复角三角函数 问题 上述结果是在 为锐角 且 的情况下得 到的 那么 一般情况下是否也有这个结果呢 议一议 其 实 对 于 任 意 的 角 都 有 要说明此结果在角 为任意角时也 成立 还要做不少推广工作 并且推广工作的过程比较繁难 同学们可自己动手试一试 三角恒等变换第三章 教 学 札记 提升总结 对于任意角 都有 简记为2 此公式给出了任意角 的正弦 余弦值与其
2、差角 的余弦值之间的关系 称为差角的余 弦公式 有了公式2 以后 我们只要知道 的值 就可以求得 的值了 例 若 则 解 析 6 槡 6 槡 1 槡 12 答案 点 评 利用差角的余弦公式求值时 不能机械地从表面 去套公式 而要变通地从本质上使用公式 即把所求的角分 解成某两个角的差 并且这两个角的正 余弦函数值是已知 的或可求的 再代入公式即可求解 跟 踪 练 习 已 知 求 6 的值 解 6 槡 6 槡 槡 槡 3 槡 3 槡 探究二 利用差角的余弦公式求值 问题 已知 1 6 且 求 的值 思考 能否通过角的变换 把未知角 表示成两个已 知角的差 引导学生用已知角 和 6 的差表示未知
3、角 即 6 然后利用差角的余 弦公式即可求值 讨论 利 用 差 角 的 余 弦 公 式 求 值 时 不 仅 需 要 和 6 的值 而且还需要 和 6 的 值 因 此 要 引 导 学 生 对 角 和 6 的 范 围 进 行 讨 论 从 而 确 定 和 的正负 探究 又 1 6 6 1槡 槡 1 6 6 槡 槡 故 6 12 6 6 1 3槡 槡 1 3 槡 点 评 通过角的变换 把未知角 表示成两个已知角 的差 既是一种变换技巧 也是一种整体思想 在由已知角的 正弦 余弦 求这个角余弦 正弦 的过程中 由于要利用平方 关系进行平方运算 所以一定要判断这个角所在的象限 一 般要结合题设条件中角的范
4、围及函数值加以确定 例 已 知 求 解 1 2 3 3 探究三 利用差角的余弦公式求角 议一议 已知三角函数值求角时 一般可按照下列原则 利用题中的条件算出角的某一三角函数值 确定所求角 所在的范围 根据题中角的范围写出所求角 确定用所求角的哪种三角函数值 要根据具体题目而 定 若角的范围是 选正弦函数比选余弦函数 好 若角的范围是 则选余弦函数比选正弦函数好 例 已知 6 槡 槡 求 的值 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 分 析 若将已知等式左边展开 则含有 的正弦和余弦 将 的正弦用余弦表示 再解关于余弦的方程 这种方法运 算复杂 实际上可考虑进行角的变换 6 解 6 槡
5、 槡 6 6 6 槡 6 槡槡 槡 槡 槡 6 6 6 12 6 6 槡 3 槡槡 3 槡槡 6 槡 点 评 利用角的变换进行求角 三角函数式求值是常用 的技巧 常用的角的变换有 等 跟踪练习 已知 为锐角 槡 求 的值 解 为锐角 6 槡 槡 又 为锐角 槡 6 槡 1 2 3 槡 3 槡 备选例题 例 不查表求值 槡 分 析 本题主要考查两角差的余弦公式的逆用以及特 殊角的三角函数值 解 原式 槡 例 已知 求 的值 分 析 由于两角差的余弦公式与同名的两个三角函数 的积有关 根据条件 将其平方后即可得出同名的三角函数 之积 解 将 和 的两边分别 平方并整理 得 1 上述两式求和 得 即
6、 例 求函数9 的值域 分 析 引进变量 槡 用含 的代数式表示函数9 先确定变量 的范围 进而确定 9 的值域 解 令 槡 又 1 槡 2 槡 2 9 的三角函数式都可以变形为 的形式 跟踪练习 求函数 的单调增 区间 解 6 由 得 函 数 的 单 调 增 区 间 为 12 综合以上问题可以看出 利用两角和与差的正 余弦公 式 可以解决化简 求值 证明 确定函数单调区间等问题 不 论解决哪种问题 都应注意观察 分析题设的结构特征和公 式的结构特点 灵活地运用公式 备选例题 例 化简 分 析 再恰当运用公式 即可解决 解 原式 1 2 1 2 例 当 12 时 求函数9 6 的值域 解 9
7、槡 槡 12 12 从而 12 9 12 故当 12 时 函数9 的值域是 12 例 已知 求 的取值范围 解法 5 6 7 当且仅当 时 右边等号成立 时 左边等号成立 解法 6 6 1 2 1 1 当且仅当 即当 时 同号 右边等号成立 当且仅当 时 异号 左 边等号成立 反思感悟 利用两角和与差的正 余弦公式求值 化简 证明时应 注意观察已知条件和公式的特点 灵活运用公式 三角恒等变换第三章 教 学 札记 无条件的三角函数求值问题是三角函数中的重要内 容 是高考常考查的内容之一 对于这类非特殊角的三角函 数式 要想求出具体数量一般有以下三种途径 化为特殊 角的三角函数值 化为正 负相消的
8、项 消去求值 化为 分子 分母形式 进行约分求值 在解题过程中 要注意根据问题的具体特点 适当变 形 配凑出公式的形式 并注意隐含条件 运用角的代换 常 值代换等换元思想 课后作业 对于任何 与 的大 小关系是 0 2 3 要以 的具体值而定 解 析 答案 0 等于 0 2 槡 3 槡 解 析 原 式 答案 0 槡 槡 则 的 值为 0 2 3 解 析 槡 槡 槡 槡 答案 山 东 已 知 槡 则 的值是 槡 0 槡 2 3 解 析 槡 槡 槡 答案 2 已知 为锐角 8 则 的值为 槡 1 0 槡 2 槡 3 槡 解 析 为锐角 8 槡 槡 槡 1 答案 若 4 4 4 则 的值为 解 析
9、移 项 后 两 边 平 方 相 加 可 得 由 4 得 答案 已知 则 解 析 1 3 1 3 1 答案 已知 均为钝角 槡 槡 则 的值为 解 析 由 槡 槡 槡 3 槡 槡 3 槡 槡 又 答案 1 已知 求证 分 析 将所证等式两边分别通分 其分子就是两角和与差 的正弦 由已知其分母相等 从而可证得等式成立 证明 由已知 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 1 2 1 2 而 1 2 等式成立 已知函数9 12 若 求函数9 的值 求函数9 的值域 分 析 把9 展开成含 的式子 利用 同角关系求解 化为一个角的三角函数形式 然后 根据角的范围和三角函数有界性来求值域 解
10、12 9 槡 槡 槡 由 知9 函数9 的值域为 12 第二课时 图 情景创设 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山 上 如图 所示 小山的高 7约为 米 在 地平面上有一点 测得 7两点间距离约为 米 从 点 处 观 测 电 视 发 射 塔 的 视 角 7 E 约为 求这座电视发射塔的高度 解 设电视发射塔的高7 E 7 则 在 1 E中 8 8 于是 8 8 如何能由 求得 8 的值呢 或者说 能不能用 把 8 表示出来呢 虽然我们已经学习了两角和与差的正 余弦公式 但是 使用这些公式显然不能直接解决上述问题 我们有必要得到 两角和与差的正切公式 合作探究 探究一 两角和与差的正切公式 问
11、题 你能根据正切函数与正弦 余弦函数的关系 从 2 K 出 发 推 导 出 用 任 意 角 的 正 切 表 示 8 的公式吗 议一议 当 时 将公式K 2 的两边分 别相除 有 8 当 时 将上式的分子 分母分别除以 可得 8 8 8 6 8 8 将其简记为 L 称为和 角的正切公式 思考 类比和角的正切公式 如何推导差角的正切公式 提升总结 由于 8 8 因 此 在 公 式L 中 以 代 替 可 得 到 8 8 1 2 8 8 6 8 8 8 8 8 8 即 8 8 8 8 8 将其简记为L 称为差角的正切公式 例 已 知 8 8 求 8 8 的值 分 析 本题考查公式的直接运用 解 8 8
12、 8 6 8 8 6 6 4 8 8 8 8 8 3 跟 踪 练 习 已 知 则 8 等于 0 2 3 解 析 8 8 8 8 6 8 8 4 答案 探究二 公式L 的适用范围 问题 公式L L 是否对任意角 都成立 议一议 引导学生讨论在上述公式推导的过程中 由于 我们使用了除法 而除法的使用是有条件的 正如推导过程 中写出的 所以公式L 使用 的前提是 且L 满 足 L 满足 否则公式是不成立的 思考 如果 8 8 或 8 的值不存在时 我们 应该如何处理有关问题 当 8 8 或 8 的值不存在时 不能使用 L 公式 应改用诱导公式或视具体情况来解 提升总结 公式L 成立的条件是 8 8
13、三角恒等变换第三章 教 学 札记 8 的值均存在 若 或 或 则公式不成立 当 中有一个角为 的整数倍时 使用诱导公式 更灵活 简便 不必用两角和 差的正切公式展开 例 已 知 且 求 8 6 8 的值 分 析 本题考查公式的逆用 但应注意角的范围 解 且 8 6 8 8 8 6 8 8 8 跟踪练习 若 8 8 则 8 的 值为 0 2 3 解 析 8 8 8 8 6 8 8 6 3 答案 3 探究三 两角和与差的正切公式的简单应用 问题 两角和与差的正切公式 除了公式的表达形式 外 还有其他变形吗 议一议 改变两角和与差的正切公式的结构 可得到如 下一些变形公式 8 8 8 6 8 8 8
14、 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 6 8 8 6 8 8 8 6 讨论 两角和与差的正切公式还可以做很多变形 如 8 8 8 8 8 8 8 8 8 6 8 8 等 这些变形虽不要求掌握和记忆 但要有所了解 探究各种 变形就是一种研究性学习 上述变形公式在等式两边都有意义时恒成立 它们 是公式L 的不同形式 各有其作用 例 求 8 8 8 8 8 8 的值 分 析 将前两项提取 8 后 再利用变形公式 8 8 8 6 8 8 即可化简求值 解 原式 8 8 8 8 8 槡 8 6 8 8 8 8 槡 3槡 3 6
15、8 8 8 8 跟踪 练 习 求 值 8 8 槡 8 8 解 析 8 8 8 6 8 8 8 槡 8 8 槡 槡 8 8 8 8 槡 8 8 槡 答案 槡 备选例题 例 是 否 存 在 锐 角 和 使 得 8 8 槡 6 同时成立 若存在 请求出 和 的 值 若不存在 请说明理由 分 析 本题需进行存在性的探索 注意条件 8 8 槡 6 中的角是 与 为此应将 变成 又取同名函数 故取正切 解 由 得 8 8 8 6 8 8 槡 将 代入上式 得 8 8 槡 6 8 8 是一元二次方程 槡 6 6 槡 的两个根 解此方程得 槡 6 8 不可能等于 从而 8 槡 6 8 将 代入 得 存在锐角
16、使得 同时成立 点 评 按命题存在求解 若结果与命题相符 则表 示存在 否则不存在 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 例 在斜三角形 7中 求证 8 8 8 7 8 8 8 7 分 析 在公式L 中 8 8 与 8 8 之 间有联系 在1 7中 7 证明 7 7 8 8 7 8 7 8 8 6 8 8 8 7 8 8 8 7 6 8 8 即 8 8 8 7 8 8 8 7 点 评 在 公式L 中 可做适当变形 如 8 8 8 6 8 8 1 7中 7 1 7 这些在解题时都有其应用的价值 例 设 8 8 是关于 的一元二次方程 的两根 当 变化时 求 8 的最小值 分 析利 用 根 与 系 数 的 关 系 及 公 式 L 可 将 8 表示成 的函数 由方程有实根可得 的取值范 围 由此再求函数的最小值 解 根据题意 方程有实根 4 即 1 5 6 7 又 8 8 是方程 的 两根 8 8 6 8 8 8 8 8 6 8 8 6 6 6 4 1 故 8 的最小值为 点 评 求解最值问题 一般应利用函数思想解决 其中 建立函数关系 确定函数的定义域 是解题中的两个主要步 骤
