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1、直线与方程第三章 教 学 札记 直 直线线的的倾倾斜斜角角与与斜斜率率 倾斜角与斜率 课标解读 课标要求学习目标 理解直线的倾斜角和斜率 的概念 体验用代数方法刻画 直线斜率的过程 掌握过两点的直线的斜率 公式及应用 培养学生对数学 知识的理解能力 应用能力及 转化能力 通过坐标法的引入 培养学 生联 系 对 应 转 化 等 辩 证 思维 明确倾斜角 的取值范围 在直角坐标系中能够找出直 线的 倾 斜 角 会 求 直 线 的 倾 斜角 理解斜率的概念 明确倾斜 角与斜率之间的函数关系 已 知一些 特 殊 的 斜 率 或 倾 斜 角 求 出 相 应 的 倾 斜 角 或 斜率 熟练掌握斜率公式 会
2、求经 过两点的直线的斜率 能利用 两点的斜率公式解决三点共 线问题 教学策略 重点难点 本节内容的重点是直线的倾斜角和斜率的概念 过两点 的直线的斜率公式 难点是斜率概念的理解 过两点的直线 的斜率公式的应用 教学建议 通过在平面直角坐标系中刻画直线的位置导出直线 的倾斜角 借助实际问题 讲授直线的斜率 让学生体会生活中 处处有数学 运用数形结合思想及坐标法探讨两点的斜率公式 已知两点坐标求斜率的公式的推导不要求学生掌握 重点是应用此公式解决问题 情境创设 意大利中部的比萨城内 有一座造型古朴而秀巧的钟 塔 是罗马式建筑的艺术 这就是堪称世界建筑史奇迹的比 萨斜塔 每年约有 万游客来到塔下 无
3、不对它那 斜而不 倒 的塔身表示忧虑和焦急 同时为自己能亲眼目睹这一由 缺陷而造成的奇迹庆幸万分 那么经过 多年的风雨沧 桑 比萨斜塔的倾斜度又是如何呢 我国的运载火箭技术已经达到了世界领先水平 你听 说过 计算机扫描法 吗 它是测试火箭性能的一种重要方 法 这种方法的关键是直线斜率的选取 可见 斜率是刻画直 线的一个非常重要的量 从本节开始 我们将一起探究直线 斜率的有关问题 图 交通工程上一般用 坡度 来描述 一段道路对于水平方向的倾斜程度 如 图 所示 沿着这条道路从 点前 进到 点 在 水 平 方 向 前 进 的 距 离 为 竖直方向上升的高度为 如果是 下降 则 的值为负实数 则坡度
4、 上升高度 水平距离 坡度 表示这条道路是上坡 值越大上坡越陡 如果 太大 车辆就爬不上去 容易出事故 表示是平路 表 示下坡 越大说明下坡越陡 太大也容易出事故 如果在过 的竖直平面上建立直角坐标系 使 方向 为 轴正方向 竖直向上的方向为 轴正方向 设 的坐标 分别是 则水平距离为 上升高度为 此时 坡度为多少 如何设计道路的坡度 才能避免事 故发生 合作探究 探究一 直线的倾斜角 画一画 请在如图 所示的图形中画出直线 向上 的方向与 轴正方向所成的角 图 提升总结 当直线 与 轴相交时 我们取 轴作为基 准 轴正方向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角 当直线 与 轴平行或
5、重合时 我们规定它的倾 斜角为 即直线 的倾斜角 的取值范围是 温馨提示 直线倾斜角的分类 如图 直线 与 轴平行或重合 直线向右上方延伸 直线 轴 直线向左上方延伸 图 例 如图 所示 能表示直线 的倾斜角的是 填上所有正确图形的序号 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 图 解 析 结合直线的倾斜角的定义 图 是正确的 图 和图 都是错误的 对 尽管大小与直线 的倾斜角相等 但不符合倾斜角的定义 因此 也不正确 因此只有 是正 确的 答案 跟踪练习 判断下列命题是否正确 直线的倾斜角的取值范围是 坐标平面内的任何一条直线都有唯一的倾斜角 平行于 轴或与 轴重合的直线没有倾斜角
6、解 不正确 应是 正确 不正确 应是 倾斜角等于 探究二 直线的斜率 在日常生活中 你知道如何表示山坡面的倾斜程度吗 日常生活中 我们常用 升高量与前进量的比 表示倾斜 面的 坡度 倾斜程度 升 高 前进 图 即坡度 比 升高量 前进量 如图 如果设山坡面与水平面所成的角的 大小为 由直角三角形中的三角函数 知识可知 升高量 前进量 坡度 类比坡度的概念 我们可以得到直线的斜率的概念 我 们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 通 常用 表示 即 注意 倾斜角是 的直线没有斜率 温馨提示 倾斜角与斜率之间的关系 直线情况平行于 轴 由左向右上升 垂直于 轴 由左向右下降 的大小 的取
7、值范围 不存在 的增减性 逐渐增大逐渐减小 图 例 如图 直线 的倾斜角 直线 求 的斜率 分 析 由题目可获取以下主要信息 且 解答本题可先利用三角形外角等于 与它不相邻的两内角的和 求得 再利 用斜率公式 即可求得其斜率 解 的斜率为 槡 的倾斜角 的斜率为 槡 点 拨 利用公式 可实现 与 的互求 欲求 只需先求 欲求 只需先求 跟踪练习 若直线的斜率为 则直线的倾斜角为 解 析 倾斜角 为钝角 即 答案 探究三 两点的斜率公式及其应用 想一想 如何由直线上的两点的坐标计算直线的斜率 探究 在 直 线 上 取 两 点 且 如图 设直线 的倾斜角为 为锐角 过点 作 轴的平行线 过点 作
8、轴的垂线 两线相交于点 引导学生写出点 的坐标 易知 在 中 图 图 议一议 若 为钝角 引导学生作出相应的图形 如图 在 中 于是可得 提升总结 经过两点 的 直线斜率公式为 例 已知 三点在同一直 线上 求 的值 分 析 由于直线上任意两点的斜率相等 因此三点 共线 中任意两点的斜率相等 如 解 因为 三点在同一条直 线上 所以 即 所以 点 拨 平面解析几何中的三点共线问题主要利用斜 率公式进行解决 斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的 量 直线上任意两点所确定的方向不变 即在同一直线上任 何不同的两点所确定的斜率相等 这正是利用斜率可证三点 共线的原因 直线与方程第三章 教 学
9、札记 跟踪练习 如果过点 和 的直线的斜率等于 那么 的值为 或 或 解 析 由 解得 答案 若直线 过点 求直线的斜率并判 断直线 的倾斜角是锐角还是钝角 解 根据直线的斜率公式 可知 当 时 直线 与 轴垂直 此时直线 的斜率 不存在 倾斜角为 当 时 当 时 倾斜角为锐角 当 时 倾斜角为钝角 备选例题 例 求经过两点 的直线 的斜率及 直线 的倾斜角 的取值范围 分 析 灵活运用两点的斜率公式及倾斜角与斜率之间 的函数关系进行求解 解 当 时 直线 垂直于 轴 斜率不存在 倾斜角 当 时 直线 的斜率 因为 所以 所以倾斜角为 或 综上可知 直线 的斜率不存在或是 倾 斜角的取值范围是
10、 点 拨 注意点 与点 的特殊位置 即 垂直于 轴 的情形 本题是由点的坐标求斜率的典型例题 一般要考虑 到斜率不存在时的情形 图 例 已知点 点 是线段 上的任意一点 试问 是否存在最大值与最小值 分 析 抓住 的几何意义 解 表示点 与坐 标原点 连线的斜率 当点 在线段 上变化时 直线 的斜率 也随之变化 由图 知 直线 的范围是由直线 的位置绕原点 沿逆时针 方向旋转到 的位置 因为 所以 所以 的最大值为 最小值为 点 拨 通过探究式子 的几何意义 将问题转化为直线 的斜率的变化范围 利用数形结合法求出斜率的取值范围 从而求得 的最大值和最小值 反思感悟 直线的倾斜角的取值范围是 直
11、线 的 两 个 斜 率 公 式 是 和 倾斜角为 的直线没有斜率 研究直线问题应善于从斜率的角度去考虑 即要考虑 斜率存在 不存在两种情况 做到既对又全 课后作业 过两点 的直线的倾斜角是 则 的值为 解 析 由 解得 答案 若直线 的倾斜角为 则 不存在 解 析 直线 与 轴垂直 故应选 答案 若 三点共线 则 的值 为 解 析 三点共线 解得 答案 过点 和 的直线的斜率的 取值范围是 解 析 答案 直线 过点 且不过第三象限 那么直线 的倾 斜角 的取值范围是 或 答案 若 三点共线 则 的值为 解 析 因为三点共线 所以 所 以 展开得 从而 答案 下列命题正确的是 已知点 则直线 的
12、斜率为 任意一条直线都存在唯一的倾斜角 但不一定都存 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 在斜率 直线的斜率 与倾斜角 之间满足 与 轴平行或重合的直线的倾斜角为 直线的倾斜角越大 它的斜率就越大 两直线的倾斜角相等 它们的斜率也相等 解 析 对于 中 应有 这个限制条件 对于 中 当倾斜角为 时 是不存在斜率的 举反例说 明 但 槡 槡 如两直线的倾斜角都是 但斜率不存在 也就谈 不上相等 答案 已知 当 时 直线 的倾斜角为锐角 当 时 直线 的倾斜角为直角 当 时 直线 的倾斜角为钝角 解 析 若直线 的 倾斜角为锐角 则 有 或 解得 或 其他同理可得 答案 已知 三点
13、证明这三点 共线 证明 又 直线 都过点 三点共线 已知点 在坐标轴上有一点 若 求 点 的坐标 解 当点 在 轴上时 设 则 当点 在 轴上时 设 则 点坐标为 或 两条直线平行与垂直的判定 课标解读 课标要求学习目标 掌握两条直线平行与垂直的判定的 结论 及 应 用 特 别 注 意 成 立 的 前 提 条件 通过教学 注意解析几何思想方法的 渗透 同时 注意思考的严密性 表述的 规范性 培 养 学 生 的 探 索 能 力 和 概 括 能力 了解分类讨论 数形结合等数学思想 方法 熟练掌握两条直线 平 行 或 垂 直 的 等 价 条件 能根据两条直线的 斜率判定两者平行或 垂直 注意斜率不存
14、在的 情形 养成分类讨论的 好习惯 教学策略 重点难点 本节重点是理解与掌握两条直线的平行或垂直的判定 条件 难点是当斜率不存在时 对两条直线平行或垂直情况 的讨论 教学建议 推导出两条直线平行的判定条件后 强调前提是直线 的斜率存在 引导学生思考斜率不存在时的情形 推导出两条直线垂直的判定条件后 也要强调前提是 直线的斜率存在且两直线不重合 引导学生思考斜率不存在 时的情形 通过实 例 让 学 生 体 会 数 形 结 合 分 类 讨 论 思 想 的 应用 情境创设 过山车能带给你飞翔的感觉 让你前一秒仰望高空 下一秒却俯视地面 但它不会等待你去欣赏美景 相反会立 即从一百多米的高空开始抛落
15、带来一次又一次的动 人 心 魄之旅 过山车的铁轨是两条永远平行的起伏的轨道 它 们靠着一根根巨大的且垂直于地面的钢柱支撑 着 你 能 感受到过山车图形中的平行与垂直吗 两条直线的平行与垂直是两种重要的位置关系 在平 面几何中我们曾经学习过两条直线平行与垂直的判定方法 那么在直角坐标系中如何来判断两条直线平行与垂直呢 它们和斜率之间有何联系呢 合作探究 探究一 两直线平行的判定 想一想 初中的平面几何中是如何判定两条直线平行 的呢 通过初中几何的学习 大家都知道 在平面内 两条直线 同时与第三条直线相交 如果同位角相等 那么这两条直线 平行 反过来也成立 议一议 在平面直角坐标系中 如何判定两条
16、直线平 直线与方程第三章 教 学 札记 图 行呢 现在 我们将两条直线 放 到同一个平面直角坐标系中去 如 图 设 直线 的 倾 斜 角 为 斜率为 直线 的倾斜角为 斜率为 若 则有 从而 即 反过来 若 则 与 的倾斜角 与 相等 由于 可得 因此 若 则 提升总结 对于两条不重合的直线 其斜率分别为 有 温馨提示 公式成立的前提条件是两条直线的斜率存在 且直线不重合 思考 若把条件 不重合 去掉 还成立吗 探究 不再成立 若 的斜率分别为 则有 但 事实上 或 重合 思考 若把条件 都有斜率 去掉 还成立吗 探究 不再成立 若 是两条不重合的直线 则有 但 事实上 或 均不存在 例 已知四边形 的四个顶点分别为 试判断四边形 的形状 分 析 考察四边形对边的斜率 应用过两点的斜率公式 及两直线平行的判定条件 解 边所在直线的斜率为 边所在直 线的斜率为 边所在直线的斜率为 边所在直线 的斜率为 因为 所以 因此四边形 为平行四 边形 点 拨 利用斜率判断四边形的形状 首先要由各顶点的 坐标求出各边所在的直线的斜率 再由斜率判断边与边之间 的关系 进而判定四边形的形状 跟踪练习 已
