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1、数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 6 页 2017 年福州市高中毕业班质量检测 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本
2、运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 D 10 D 11 C 12 A 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 1 14 10 10 15 22 6 16 2 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查等差数列的定义与通项公式 数列求和等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想等 满分 12 分 解析 依题意 1 21 0 nn aana 2 分 因为 243 41a aa 所以 111 26441aaa 4 分
3、所以 2 13 450aa 解得 1 1a 或 1 5a 舍去 5 分 所以21 n an 6 分 139 3n aaaa 2 2 1 12 3 12 312 31 n 7 分 2 2 1 3331 n n 9 分 1 1 3 21 1 3 n n 11 分 32 n n 12 分 18 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系及点到平面的距离等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想等 满分 12 分 解析 解法一 在四棱锥PABCD 中 连结BD交 AC于N 连结MN 依题意知 ABCD ABNCDN 2 分 2 BNBA NDCD 3 分 N
4、M P C A B D 数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 6 页 1 2 PMMB 2 BNBM NDMP 在BPD 中 MNPD 4 分 又 PDMAC 平面 MNMAC 平面 PDMAC平面 6 分 平面PAD 平面ABCD 且交于AD PAAD PA 平面PAD PA 平面ABCD 8 分 1111 2 11 3323 P ABCABC VSPA 9 分 22 2 2ABACADCD 2 22222 5 3 2PBPAABPCPAACBCADABCD 222 PBPCBC 故90PCB 10 分 记点A到平面PBC的距离为h 1116 32 3326 A PBCPBC VShhh
5、11 分 P ABCA PBC VV 16 36 h 解得 6 3 h 12 分 解法二 同解法一 6 分 平面PAD 平面ABCD 且交于AD PAAD PA 平面PAD PA 平面ABCD 8 分 BC 平面ABCD PABC 2 222 2 2 2ABACADCDBCADABCD 90ACB 即BCAC PAACA PA AC 平面PAC BC 平面PAC 10 分 过A作AEPC 于E 则BCAE PCBCC PC BC 平面PBC AE 平面PBC 11 分 点A到平面PBC的距离为 126 33 PA AC AE PC 12 分 19 本小题主要考查平均数 方差 古典概型等基础知识
6、 考查数据处理能力 运算求解能 力以及应用意识 考查必然与或然思想等 满分 12 分 解析 由表格中的数据 我们可以分别计算运动员 A 和 B 前 7 场比赛积分的平 均数和方差 作为度量两运动员比赛的成绩及稳定情况的依据 运动员 A 的平均分 1 1 213 7 x 方差 2222 2 1 1 3323443632 7 s 运动员 B 的平均分 2 1 284 7 x N M P C A B D E 数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 6 页 方差 22222 2 2 1 14234541044428 7 s 2 分 从平均分和积分的方差来看 运动员 A 的平均积分及积分的方差都比运动员
7、 B 的小 也就是说 在前 7 场的比赛过程中 运动员 A 的成绩最为优异 而且表现也最为稳定 4 分 表中平均分低于 6 5 分的运动员共有 5 个 其中平均分低于 5 分的运动员有 3 个 分别记为 123 a a a 平均分不低于 5 分且低于 6 5 分的运动员有 2 个 分别记为 12 b b 5 分 从这 5 个数据中任取 2 个共有 10 种情况 12131 11 2232 1223 13 21 2 a a a a ab ab a a a b a b a b a b bb 8 分 其中至少有 1 个运动员平均分不低于 5 分有 7 种情况 设至少有 1 个运动员平均分不低于 5
8、分为事件A 则 7 10 P A 10 分 尽管此时还有 4 场比赛没有进行 但这里我们可以假定每位选手在各自的 11 场 比赛中发挥的水平大致相同 因而可以把前 7 场比赛的成绩看作总体的一个样本 并由 此估计每位运动员最后比赛的成绩 从已经结束的 7 场比赛的积分来看 运动员 A 的 成绩最为优异 而且表现最为稳定 因此 预测运动员 A 获得最后的冠军 而运动员 B 和 C 平均分相同 但运动员 C 得分整体呈下降趋势 所以预测运动员 C 将获得亚军 12 分 说明 方案不唯一 其它言之有理的方案也给满分 20 本小题主要考查函数的单调性 导数及其应用 不等式等基础知识 考查推理论证能力
9、运算求解能力等 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形结合 思想等 满分 12 分 解析 f x的定义域为 0 1 分 2 2 2 axaxa fxxa xx 2 分 因为3x 是 f x的极值点 所以 183 30 3 aa f 解得9a 3 分 所以 2 233299xxxx fx xx 所以当 0fx 时 2 0 3 x 或3x 当 2 3 3 x 时 0fx 所以3x 是 f x的极小值点 5 分 所以 f x的增区间为 2 0 3 和 3 减区间为 2 3 3 6 分 2 212 2 xaxxaxa gx xx 7 分 当1 2 a 即2a时 g x在 1 e上为增
10、函数 11h aga 数学参考答案及评分标准 第 4 页 共 6 页 当1e 2 a 即22ea 时 g x在1 2 a 上为减函数 在 e 2 a 上为增函数 2 1 ln 224 aa h agaaa 当e 2 a 即2ea时 g x在 1 e上为减函数 2 e1ee2eh aga 11 分 综上 2 2 1 2 1 ln 22e 24 1ee2e 2e aa a h aaaaa aa 12 分 21 本小题考查点与圆 直线与椭圆的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 推理论证 能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 12 分 解析 解法一 因为圆 1 C内切于圆O 所以 1 1
11、2 2 OCAP 1 分 依题意 1 O C分别为 AB AP的中点 所以 1 1 2 OCBP 2 分 所以 11 2 224APBPOCOCAB 3 分 所以 2 C是以 A B为焦点 长轴长为4的椭圆 4 分 所以 2 C的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 依题意 设直线DM方程为 2yk x 0k 因为MN为圆O直径 所以90MDN 所以直线DN方程为 1 2yx k 6 分 所以圆心 0 0O到直线DM的距离为 2 2 1 k k 所以 2 2 24 2 4 1 1 k DM k k 同理可求 22 44 1 1 1 k DN k k 7 分 由 22 2 44 yk x xy
12、 得 2222 14161640kxk xk 所以 2 2 164 2 14 S k x k 解得 2 2 28 14 S k x k 8 分 所以 2 2 2 4 1 12 14 S k DSkx k 数学参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页 所以 2 2 22 1 4 1 41 4 1 14 kkk DT k k 10 分 所以 22 1 2 2 2 144 1 kk DMDNS SDSDT k 令 2 1tk 则 3 1 03t t 所以 1 2 2 4333325 414 4 ttS Sttt 即 1 2 S S 的取值范围为 25 4 4 12 分 解法二 同解法一 5 分 依
13、题意 设直线DM方程为2xty 0t 因为MN为圆O直径 所以90MDN 所以直线DN方程为 1 2xy t 6 分 由 22 2 4 xmy xy 得 22 140mymy 所以 2 4 1 M m y m 7 分 由 22 2 44 xmy xy 得 22 440mymy 所以 2 4 4 S m y m 8 分 所以 2 2 4 1 M S ym ym 所以 2 2 22 1 4 41 1 1 1 N T ymm ym m 9 分 所以 22 1 2 2 2 414 1 NM ST mm DMDNDMDNySy SDSDTDSDTyy m 10 分 令 2 1tm 则 3 1 03t t
14、 所以 1 2 2 3433325 414 4 ttS Sttt 即 1 2 S S 的取值范围为 25 4 4 12 分 22 本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 10 分 解析 将曲线C的极坐标方程 2222 cos3sin12 化为普通方程为 22 1 124 xy 则其左焦点为 2 2 0 则2 2m 2 分 数学参考答案及评分标准 第 6 页 共 6 页 将直线l的参数方程 2 2 2 2 xmt yt 与曲线C的方程 22 1 124 xy 联立 化简可得 2 220tt 4 分 则 1 2 2FAFBt t 5 分
15、 由曲线C的方程 22 1 124 xy 可设曲线C上的任意 一点P的坐标为 2 3cos 2sin 7 分 则以P为顶点的内接矩形周长为 42 3cos2sin16sin0 32 9 分 因此该内接矩形周长的最大值为 16 10 分 23 本小题考查绝对值不等式的解法与性质 不等式的证明等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查分类与整合思想 化归与转化思想等 满分 10 分 解析 解 令 1 1 1223 12 1 2 x f xxxxx x 2 分 则 11f x 3 分 因为 0 x R使不等式 1 2 xxt 成立 所以1t 即 1Tt t 5 分 由 知 33 loglog1mn 6 分 根据基本不等式 3333 loglog2 loglog2mnmn 8 分 所以9mn 当且仅当3mn 时取等号 所以mn的最小值为 9 10 分
