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1、1.2.1 函数及其表示一、映射根据题意填空。 (1) (2) (3) (4)映射概念:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB是集合A到集合B的映射。如上图:_是映射。象与原象:给定一个集合A到集合B的映射,且A,B,如果元素和元素对应,那么我们把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象。注意:(1)集合A、B、对应关系是一个整体;(2)对应关系有“方向”,强调从A到B;(3)集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的,这个唯一性是构成映射的核心;(4)集合A中不同的元素,在集合B中
2、对应的象可以是同一个,集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”,但不能是“一对多”;(5)集合B中的元素在A中不一定有原象。(6)如果A有m个元素,B有n个元素,则从集合A中到集合B的映射(不加限制)有个。例1:设集合AN,BN,对应关系f:xy2x,则(1)集合A中元素2所对应的象是_。(2)集合B中元素2所对对应的原象是_。【解析】:(1)4(2)1变式练习:设f:AB是从集合A到集合B的映射,AB(x,y)xR,yR,若f:(x,y)(xy,xy)(1)求集合A中元素(1,2)在集合B中对应的元素_。(2)求集合B中元素(1,2)在集合A中对应的元素_
3、。【解析】:(1)(3,1) (2)(,)二、函数(一)、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数。记作:yf(x),xA。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(集合);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)xA 叫做函数的值域(集合)。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。例2:xyOxyOxyOxyO下面哪一个图形可以作为函数的图象( )A B C D【解析】:B变式练习:设Ax0x2,By1y2,如下图,能表示从集
4、合A到集合B的映射是( )1212A1212B1212C1212D【解析】:D(二)区间的概念:设,是两个实数,而且我们规定:(1)满足不等式x的实数x的集合叫做闭区间,表示为,;(2)满足不等式x的实数x的集合叫做开区间,表示为(,);(3)满足不等式x或x的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为左闭右开和左开右闭区间。定 义符 号定 义名 称符 号数轴表示(三)、函数的定义域:自变量x的取值范围。1、简单函数定义域的类型及求法:(1)分式函数中分母不等于零;(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0;(3)一次函数、二次函数的定义域为R;(4)y (0且1),ysin x,ycos x,定义
5、域均为R;(5)ytan x的定义域为xxR且xk,kZ;(6)对数函数的定义域是真数大于0;(7)函数f(x)的定义域与指数的关系,对于不同的值,定义域不同。(8)由实际问题建立的函数,还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法:(1)若已知函数f(x)的定义域为,则复合函数fg(x)的定义域由不等式g(x) 求出;(2)若已知函数fg(x)的定义域为,则f(x)的定义域为g(x)在,上的值域。例3:求下列函数的定义域。(1)f(x) (2)f(x) (3)f(x)(4)f(x) (6)f(x)【解析】:(1)x (2)x(3)x1且x3(4)x2或x3(5)4x1变式练习1:设A
6、xy,Bxy,则AB_。【解析】:变式练习2:函数f(x)的定义域为_。【解析】:(2k,2k),kZ变式练习3:设Axy,Bxy,则AB_。【解析】:A(2k,2k),B4,3,则AB例4:已知等腰三角形的周长为20,请将底边y表示为腰x的函数,并写出x的取值范围。【解析】y202x,5x105x10例5:(1)已知函数f(x)的定义域为1,4,则f (x2)的定义域为_。(2)已知函数f(2x1)的定义域为(1,0),则f(x)的定义域为_。【解析】(1)1x24,1x2(2)1x0,22x0,12x11变式练习:(1)已知函数f(x)的定义域为5,5,则f (32x)的定义域为_。(2)
7、已知函数f(x1)的定义域为0,3,则f(x2)的定义域为_。【解析】(1)1,4,(2)0x3,1x14,1x24,则2x1或1x2例6:下列说法中正确的是( )A:yf(x)与yf(t)表示同一个函数B:yf(x)与yf(x1)不可能是同一函数C:f(x)1与f(x)x0表示同一函数D:定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】A 变式练习:判断下列各组函数,哪些是同一函数(1)f(x)x 与g (x) (2)f(x)x 与g(x)(3)f(x)x与g(x) (4)f(x)x2 与g (x)(x1)2(5)f(x)x 与g(x) (6)f(x)与g (x)x1(7)f(x)x22x1
8、 与g(t)t22t1例7:已知函数f(x)x22x3,求(1)f(1),f(2)(2)f(),f(1)(3)f(1),ff(1),f f(2) (4)若g(x),则求fg(x) 和 gf(x)变式练习1:已知函数f(x),求(1)计算:f (1),f (2),f ()(2)计算:f (1)f (2)f ()f (3)f ()f (4)f ()f (5)f ()f (6)f ()变式练习2:定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x、yR),且f(1)2,则f(3)( )A:2 B:3 C:6 D:9【解析】:f(1)f(10)f(1)f(0)0,得f(0)0f(0)f(
9、11)f(1)f(1)2,得f(1)0f(2)f(11)f(1)f(1)2,得f(2)2f(3)f(12)f(1)f(2)4,得f(3)6变式练习3:函数满足则常数c等于( )A: 3 B: C: D: 【解析】:x 得 c3 B三、函数的值域(一)、值域:函数,我们把函数值的集合称为函数的值域。(二)、基本函数的值域:1、一次函数的值域为R; 2、二次函数;xR的值域 3、反比例函数的值域为4、指数函数y (0且1)的值域为(0,)5、对数函数y (0且1)的值域为R;6、正弦ysin x,余弦函数ycos x的值域1,1;7、正切函数ytan x的值域为R;8、函数f(x)的值域与指数的关
10、系,对于不同的值,值域不同。(三)求值域的具体方法1、观察法(直接法):例8:求函数f(x)2x1,x1,2,3,4,5【解析】:y3,5,7,9,11变式练习:求函数的值域:(1)f(x)1 (2)f(x)【解析】:(1)y1(2)y02、配方法:利用二次函数求值域【二次函数的对称轴x,顶点坐标(,)】;例9:求函数f(x)x26x7,xR的值域解:f(x)x26x7(x3)21616,所以函数的值域yy16或。变式练习:求函数的值域 (1)f(x)x24x3,xR (2)f(x)x26x7,xR(3)f(x)x24x3, x1,3 (4)f(x)x26x7,x1,3(5)设、是方程4x24
11、mxm2(xR)的两实根,当m为何值时,有最小值?求出这个最小值。 【解析】:3、分离常数法:【形如反比例函数的值域y(k0),】例10:求函数f(x)的值域。【解析】:f(x)2 y3变式练习:求函数f(x)的值域。【解析】:f(x)5 y54、单调法:先判断函数f(x)的区间上的单调性,再代入端点求值域的方法。例11:已知函数f(x),求函数的最大值和最小值。【解析】:函数f(x)在2,6上是减函数,所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值,当x2函数取最大值2,当x6函数取最小值0.4。变式练习1:求函数f(x)的值域。【解析】:9,12变式练习2:求下列函数的值域(1)f(x)
12、 (2)f(x)【解析】:(1)f(x) (2)f(x)5、换元法例12:求函数f(x)x变式练习1:分别求下列函数的值域(1)f(x)2x (2)f(x)2x变式练习2:分别求下列函数的值域(1)f(x)63 (2)f(x)sin2x2cosx36、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例13:求函数f(x)x(x1)的最小值_。例14:求函数f(x) x(32x) (0x)的最大值_。7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法(一)表示函数的方法有:有解析法、列表法和图象法三种。(1)、解析法: 如果函数yf(x)(xA)中,f(x)是用代数